数学 における算術幾何数列 (さんじゅつきかすうれつ、仏 : suite arithmético-géométrique ; 英 : arithmetico–geometric sequence )は、一次の 漸化式 を満足する数列 で、算術数列 および幾何数列 をともに一般化する[注釈 1] 。
定義 ここでは任意の可換体 K をひとつ固定する(例えば実数 体 ℝ や複素数 体 ℂ )。K に値をとる数列 ( u n ) n ∈ N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} が算術幾何数列 であるとは、K の適当な元 a, b が存在して、その数列が以下の漸化式
u n + 1 = a u n + b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} を満足するときに言う。
[1] 注意 途中の番号から始まる列 (un )n ≥n 0 は、vp = u n 0 +p と置くことにより、常に (vp )p ∈ℕ なる形に書き直せる[2] 。そのような列 (un ) が n ≥ n 0 において上記の漸化式を満たすことと、(vp )p ∈ℕ が算術幾何的であることとは同値になる。 性質 算術幾何数列は二階線型回帰数列 で、斉次線型漸化式 u n + 1 = ( a + 1 ) u n − a u n − 1 {\textstyle u_{n+1}=(a+1)u_{n}-au_{n-1}} の解として与えられる。 算術幾何数列の「公差」b は以下の式で与えられる: b = u n 2 − u n − 1 u n + 1 u n − u n − 1 . {\displaystyle b={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}.} 算術幾何数列の階差数列 w n = u n + 1 − u n {\textstyle w_{n}=u_{n+1}-u_{n}} は、公比 a の幾何数列 である。 算術幾何数列の部分和 の列 Sn は三階の線型回帰数列で S n + 1 = ( a + 2 ) S n − ( 2 a + 1 ) S n − 1 + a S n − 2 {\displaystyle S_{n+1}=(a+2)S_{n}-(2a+1)S_{n-1}+aS_{n-2}} を満足する。 部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。 一般項 a = 1 の場合 a = 1 のとき、漸化式は、
u n + 1 = u n + b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} となり、これは
算術数列 の漸化式であるから、一般項は
u n = u 0 + n b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n}=u_{0}+nb\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} となる。
a ≠ 1 の場合 r = b 1 − a {\textstyle r={\frac {b}{1-a}}} と置けば、一般項は
u n = a n ( u 0 − r ) + r ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} で与えられる(
a = n = 0 のときは
00 = 1 と約束する)。
まず付随する函数 x ↦ ax + b に対し f (r ) = r を満たす点 r (f の不動点 )を求めると、
a r + b = r ⟺ r = b / ( 1 − a ) . {\displaystyle ar+b=r\iff r=b/(1-a).} と書ける。ここで
v n = u n − r {\textstyle v_{n}=u_{n}-r} と置けば、漸化式
u n + 1 = aun + b は
v n + 1 + r = a (vn + r ) + b から
v n + 1 = a v n + a r + b − r = a v n {\displaystyle v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}} となり、数列
(vn ) は公比
a の
幾何数列 を成す。したがって
u n = v n + r = a n v 0 + r = a n ( u 0 − r ) + r . {\displaystyle u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r.}
階差による証明
一階の差分 w n = u n + 1 – un をとれば、算術幾何数列の線型漸化式 は
w n + 1 = u n + 2 − u n + 1 = ( a u n + 1 + b ) − ( a u n + b ) = a ( u n + 1 − u n ) = a w n {\displaystyle w_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_{n}+b)=a(u_{n+1}-u_{n})=aw_{n}} となり、数列
(wn ) は公比
a の幾何数列で、初項
w 0 = u 1 − u 0 = a u 0 + b − u 0 = ( a − 1 ) u 0 + b {\textstyle w_{0}=u_{1}-u_{0}=au_{0}+b-u_{0}=(a-1)u_{0}+b} を持つ。したがって、
幾何級数の部分和の公式 から、任意の
自然数 n に対して(
n = 0 のときは
空和 は零とする規約を用いて)、
∑ 0 ≤ k < n w k = w 0 a n − 1 a − 1 = ( a − 1 ) u 0 + b a − 1 ( a n − 1 ) {\displaystyle \sum _{0\leq k<n}w_{k}=w_{0}{\frac {a^{n}-1}{a-1}}={\frac {(a-1)u_{0}+b}{a-1}}(a^{n}-1)} と書ける。これは
r = b /(1 – a ) と置けば
u n − u 0 = ( u 0 − r ) ( a n − 1 ) {\textstyle u_{n}-u_{0}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)} だから、所期の式
u n = ( u 0 − r ) ( a n − 1 ) + u 0 = a n ( u 0 − r ) + r {\displaystyle u_{n}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)+u_{0}=a^{n}(u_{0}-r)+r} に達する。
定義節の注意 に従えば、より一般に:
u n = a n − n 0 ( u n 0 − r ) + r ( ∀ n 0 ∈ N , ∀ n ≥ n 0 ) {\displaystyle u_{n}=a^{n-n_{0}}(u_{n_{0}}-r)+r\quad (\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\forall n\geq n_{0})} と書ける。
部分和 a ≠ 1 で、常に r = b /(1 – a ) と書くことにすれば、最初の n 項(第 0 -項から第 (n − 1) -項まで)の和は
S n = ∑ k = 0 n − 1 u k = ( u 0 − r ) 1 − a n 1 − a + n r {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr} で与えられる。
証明
前節の一般項の式 に従えば、幾何数列の部分和の公式 も用いて、
∑ k = 0 n − 1 u k = ∑ k = 0 n − 1 ( a k ( u 0 − r ) + r ) = ( u 0 − r ) ( ∑ k = 0 n − 1 a k ) + n r = ( u 0 − r ) 1 − a n 1 − a + n r . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}(a^{k}(u_{0}-r)+r)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}}
これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 n > p として
∑ k = p n − 1 u k = S n − S p = ( u 0 − r ) a p − a n 1 − a + ( n − p ) r {\displaystyle \sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{0}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r} となる。
収束性 一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限 も a の値(必要ならば u 0 – r の符号も)によって決定することができる(a ≠ 1 のとき r = b /(1 – a ) と置いたことに注意)。
|a | < 1 のときは、数列の極限は初期値が何であろうと r である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係 である。このような特徴は(ロジスティック列 のような)非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖 において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。
応用 算術幾何数列は、ある種の人口変動(変動率が一定)のモデリングとして現れる。例えば、常に 10 の流入と 5% の流出があることを u n + 1 = u n + 10 − 5 100 × u n {\textstyle u_{n+1}=u_{n}+10-{\frac {5}{100}}\times u_{n}} と書ける。
算術幾何数列は返済計画(フランス語版) にも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、n か月後に残った借金 Rn の成す数列 (Rn ) は漸化式 R n + 1 = ( 1 + t ) R n − M {\textstyle R_{n+1}=(1+t)R_{n}-M} を満たし、算術幾何数列を成す。
算術幾何数列は二状態マルコフ鎖 にも現れる。推移確率行列(英語版) を
( a 1 − a 1 − b b ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}} とすると、関係式
( p n + 1 , q n + 1 ) = ( p n , q n ) ( a 1 − a 1 − b b ) {\displaystyle (p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}} から
p n + 1 = a p n + ( 1 − b ) q n {\textstyle p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}} が得られ、一方
q n = 1 − p n {\textstyle q_{n}=1-p_{n}} であったから、代入して
p n + 1 = ( a + b − 1 ) p n + 1 − b {\displaystyle p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b} を得る。
注 注釈 ^ 定義により、算術級数は一次の係数が 1 の、幾何級数は定数項が 0 の一次漸化式をそれぞれ持つのであった。 出典 ^ Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия // Квант. — 1975. — № 1. — С. 36—39. ^ J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.[要文献特定詳細情報 ] ^ J.-P. Ramis および A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1 , Dunod, coll. « Sciences Sup », 2013 , 2e éd. (1re éd. 2006) (lire en ligne) , p. 534 . 関連項目