球面座標系

球面座標系（きゅうめんざひょうけい、英語: spherical coordinate system）とは、3次元ユークリッド空間に定まる座標系の一つで、動径座標と二つの角度座標で表される極座標系である。第一の角度はある軸（通常は z-軸を選ぶ）と動径がなす角度で、第二の角度は、その軸に垂直な平面にある別の軸（通常は x-軸を選ぶ）とこの平面への動径の射影がなす角度である。通常は動径座標に記号 r を用い、第一の角度座標には θ を、第二の角度座標には φ を用いて表される。動径座標は 0 ≤ r < ∞ の範囲にあり、第一の角度は 0 ≤ θ ≤ π の範囲にある。第二の角度の動く範囲は −π < φ ≤ π もしくは 0 ≤ φ < 2π のどちらかを用いることが多い。

座標変換

球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は

${\begin{cases}x=r\sin \theta \,\cos \phi \\y=r\sin \theta \,\sin \phi \\z=r\cos \theta \\\end{cases}}$

で与えられる。第二の角度座標を −π < φ ≤ π とする場合は、直交直線座標 (x,y,z) から球面座標 (r,θ,φ) への変換は

${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta =\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\phi =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\\end{cases}}$

で与えられる。ここで sgn は符号関数

$\operatorname {sgn}(y)={\begin{cases}1&(y>0)\\0&(y=0)\\-1&(y<0)\\\end{cases}}$

である。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。さらに原点 (x,y,z) = (0,0,0) においては θ も定まらない。

球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換の式を微分すれば

${\begin{cases}dx=\sin \theta \,\cos \phi \,dr+r\cos \theta \,\cos \phi \,d\theta -r\sin \theta \,\sin \phi \,d\phi \\dy=\sin \theta \,\sin \phi \,dr+r\cos \theta \,\sin \phi \,d\theta +r\sin \theta \,\cos \phi \,d\phi \\dz=\cos \theta \,dr-r\sin \theta \,d\theta \\\end{cases}}$

が得られて、ヤコビ行列とヤコビ行列式は

${\begin{aligned}{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}&={\begin{pmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\cos \theta \,\cos \phi &-r\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\cos \theta \,\sin \phi &r\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\sin \theta &0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r&0\\0&0&r\sin \theta \\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

$\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}\right|=r^{2}\sin \theta$

となる。従って球面座標で表した体積素は

$dV=dx\,dy\,dz=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi$

となる。また、線素の二乗は

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}$

となる。交叉項が現れないため、球座標は各点において動径が増減する方向と二つの角度が増減する方向がそれぞれに直交している直交座標系である。

ベクトル解析

球面座標 (r,θ,φ) での位置ベクトル x の偏微分により

${\boldsymbol {e}}_{r}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial r}},~{\boldsymbol {e}}_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial \theta }},~{\boldsymbol {e}}_{\phi }={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial \phi }}$

を定義する。標準基底 e_x , e_y , e_z を用いれば、位置ベクトルの微分は

${\begin{aligned}d{\boldsymbol {x}}&={\boldsymbol {e}}_{x}\,dx+{\boldsymbol {e}}_{y}\,dy+{\boldsymbol {e}}_{z}\,dz\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{x}&{\boldsymbol {e}}_{y}&{\boldsymbol {e}}_{z}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{x}&{\boldsymbol {e}}_{y}&{\boldsymbol {e}}_{z}\\\end{pmatrix}}{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}{\begin{pmatrix}dr\\d\theta \\d\phi \\\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

となるので、具体的に

${\begin{cases}{\boldsymbol {e}}_{r}={\boldsymbol {e}}_{x}\sin \theta \,\cos \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\sin \theta \,\sin \phi +{\boldsymbol {e}}_{z}\cos \theta \\{\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{x}\cos \theta \,\cos \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\cos \theta \,\sin \phi -{\boldsymbol {e}}_{z}\sin \theta \\{\boldsymbol {e}}_{\phi }=-{\boldsymbol {e}}_{x}\sin \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\cos \phi \\\end{cases}}$

で表される。

標準内積を考えれば

$|{\boldsymbol {e}}_{r}|^{2}=|{\boldsymbol {e}}_{\theta }|^{2}=|{\boldsymbol {e}}_{\phi }|^{2}=1$

${\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{\theta }\cdot {\boldsymbol {e}}_{\phi }=0$

となり、これらは正規直交基底である。また3次元空間においてはベクトル積を考えることができて、球面座標の単位ベクトル間のベクトル積は

${\boldsymbol {e}}_{r}\times {\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{\phi },~{\boldsymbol {e}}_{\phi }\times {\boldsymbol {e}}_{r}={\boldsymbol {e}}_{\theta },~{\boldsymbol {e}}_{\theta }\times {\boldsymbol {e}}_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{r}$

となる。したがって、球面座標は r,θ,φ の順番で向き付けられた座標である。

曲面上の点が u, v でパラメータ付けされるとき、面積素ベクトルは

${\begin{aligned}d{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial u}}\times {\frac {\boldsymbol {x}}{\partial v}}\,du\wedge dv\\&={\boldsymbol {e}}_{r}\,r^{2}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +{\boldsymbol {e}}_{\theta }\,r\sin \theta \,d\phi \wedge dr+{\boldsymbol {e}}_{\phi }\,r\,dr\wedge d\theta \\\end{aligned}}$

で与えられる。

任意のベクトル場 A は

$A_{r}={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {A}},~A_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{\theta }\cdot {\boldsymbol {A}},~A_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{\phi }\cdot {\boldsymbol {A}}$

${\boldsymbol {A}}=A_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+A_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }+A_{\phi }{\boldsymbol {e}}_{\phi }$

によって成分表示される。ベクトル場の球面座標による微分は

${\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}={\frac {\partial A_{r}}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{r}+{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{\phi }$

${\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}-A_{\theta }\right){\boldsymbol {e}}_{r}+\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+A_{r}\right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \theta }}{\boldsymbol {e}}_{\phi }$

${\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \phi }}=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-A_{\phi }\sin \theta \right){\boldsymbol {e}}_{r}+\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}-A_{\phi }\cos \theta \right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+\left({\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}+A_{r}\sin \theta +A_{\theta }\cos \theta \right){\boldsymbol {e}}_{\phi }$

で与えられる。

スカラー場の勾配

スカラー場 f(x) の勾配は

$df=(\mathrm {grad} \,f)\cdot d{\boldsymbol {x}}$

で定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分が

$d{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {e}}_{r}\,dr+r{\boldsymbol {e}}_{\theta }\,d\theta +r\sin \theta \,{\boldsymbol {e}}_{\phi }\,d\phi$

であることから、球面座標系でのスカラー場 f の勾配は

$\mathrm {grad} \,f={\boldsymbol {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}$

となる。ベクトル微分演算子を

$\nabla ={\boldsymbol {e}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}$

で定めれば

$\mathrm {grad} \,f=\nabla f$

と書ける。

ベクトル場の発散

ベクトル場 A の発散は

${\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=(\operatorname {div} {\boldsymbol {A}})\,dV$

で定義されるスカラー場である。球座標で表した体積素と面積素を用いれば

${\begin{aligned}(\operatorname {div} {\boldsymbol {A}})\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi &=r^{2}A_{r}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +rA_{\theta }\sin \theta \,d\phi \wedge dr+rA_{\phi }\,dr\wedge d\theta \\&=\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r}\sin \theta )+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(rA_{\theta }\sin \theta )+{\frac {\partial }{\partial \phi }}(rA_{\phi })\right]dr\,d\theta \,d\phi \\\end{aligned}}$

となるので、球面座標系でのベクトル場の発散として

$\operatorname {div} {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}A_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (A_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}$

が得られる。ベクトル微分演算子を用いれば

${\begin{aligned}\mathrm {div} \,{\boldsymbol {A}}&=\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \phi }}\\&=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial r}}+{\frac {2}{r}}A_{r}\right)+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+A_{\theta }\cot \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}\\&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}A_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (A_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}\\\end{aligned}}$

と書ける。

ベクトル場の回転

ベクトル場 A の回転は

${\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {x}}=(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})\cdot d{\boldsymbol {S}}$

で定義されるベクトル場である。球座標の面積素と線素を用いれば

${\begin{aligned}(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{r}\,&r^{2}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{\theta }\,r\sin \theta \,d\phi \wedge dr+(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{\phi }\,r\,dr\wedge d\theta \\&=A_{r}\,dr+rA_{\theta }\,d\theta +rA_{\phi }\sin \theta \,d\phi \\&=\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}(rA_{\phi }\sin \theta )-{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial \phi }}\right]d\theta \wedge d\phi +\left[{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\phi }\sin \theta )\right]d\phi \wedge dr+\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]dr\wedge d\theta \end{aligned}}$

となるので、球面座標系でのベクトル場の回転として

$\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}={\frac {{\boldsymbol {e}}_{r}}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial (A_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial (rA_{\phi })}{\partial r}}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r}}\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]$

が得られる。ベクトル微分演算子を用いれば

${\begin{aligned}\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {A}}&=\nabla \times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {e}}_{r}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \phi }}\\&={\frac {{\boldsymbol {e}}_{r}}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial (A_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial (rA_{\phi })}{\partial r}}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r}}\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]\\\end{aligned}}$