数学の分野における楕円型偏微分方程式(だえんがたへんびぶんほうていしき、英: elliptic partial differential equation)とは、一般的な二階の偏微分方程式
![{\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f4ed94deed8bf9bcbfb2004e7f6668876efbbd)
で次の条件を満たすもののことを言う:
![{\displaystyle B^{2}-AC<0.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5502b4bc9a6a76b863534df4bf2c7b7bc86588)
(ここで、暗に
を意味している)。
円錐断面や二次形式を分類する際に判別式
を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。ただし、上の例のように偏微分方程式の慣習として係数のひとつが「2B」であり、これを前提として対応する判別式は
となる(詳細については「二階の方程式(英語版)」を参照されたい)。前述の形式は、平面上の楕円の方程式
![{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113cb61b7b8abe16203db858b807cc84f8a58702)
と同様のものである。この方程式は(
である場合には)
![{\displaystyle Au_{xx}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e804435966292082083ce15cafe75aa26f226a1)
および
へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式
に類似している。
一般的に、n 個の独立変数 x1, x2 , ..., xn が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される:
,
ここで、L は楕円型作用素である。
例えば、三次元 (x,y,z) においては
![{\displaystyle a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+b{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+c{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+d{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\partial z}}+e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}{\text{ + (lower-order terms)}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1baaa0c97cbcb12dc4360e7c214bc1d68195515e)
が得られる。ここで、u が完全分離可能(英語版)(すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z))である場合には、
![{\displaystyle a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+c{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}{\text{ + (lower-order terms)}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2e98313dc8d9f72838d11af2d572dbd21232cf)
が得られる。
これは、楕円体の方程式
と対応している。 いちばん簡単な例は,
![{\displaystyle \triangle u=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e8ad9af4eb89569b7f58ee8179c5d083887fca)
のようなポアソン方程式(
の場合はラプラス方程式)である。
関連項目