三角積分

三角積分（さんかくせきぶん、英語: trigonometric integral）は数学において、三角関数を含む積分によって定義される特殊関数の一つである。

定義

正弦積分 (sine integral) は正弦関数を含む積分によって定義される関数である。

Si ⁡ ( z ) = ∫ 0 z sin ⁡ t t d t si ⁡ ( z ) = − ∫ z ∞ sin ⁡ t t d t = Si ⁡ ( z ) − π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Si} (z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin {t}}{t}}\mathrm {d} t\\&\operatorname {si} (z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {\sin {t}}{t}}\mathrm {d} t=\operatorname {Si} (z)-{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}

被積分関数は非正規化Sinc関数といい、球ベッセル関数のα=0のときの値に等しい。

余弦積分 (cosine integral) は余弦関数を含む積分によって定義される関数である。

Ci ⁡ ( z ) = − ∫ z ∞ cos ⁡ t t d t {\displaystyle \operatorname {Ci} (z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {\cos {t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t}

複素関数としての余弦積分は多価であるが、次のように複素対数関数と正則関数の和で表すことができる。

Ci ⁡ ( z ) = γ + log ⁡ z − Cin ⁡ ( z ) Cin ⁡ ( z ) = ∫ 0 z 1 − cos ⁡ t t d t {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ci} (z)&=\gamma +\log {z}-\operatorname {Cin} (z)\\\operatorname {Cin} (z)&=\int _{0}^{z}{\frac {1-\cos {t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t\end{aligned}}}

性質

微分積分

  • d d z Si ⁡ ( z ) = d d z si ⁡ ( z ) = sin ⁡ ( z ) z {\displaystyle {d \over dz}\operatorname {Si} (z)={d \over dz}\operatorname {si} (z)={\frac {\sin(z)}{z}}}
  • d d z Ci ⁡ ( z ) = cos ⁡ ( z ) z {\displaystyle {d \over dz}\operatorname {Ci} (z)={\frac {\cos(z)}{z}}}
  • ∫ Si ⁡ ( z ) d z = z Si ⁡ ( z ) + cos ⁡ ( z ) + C {\displaystyle \int \operatorname {Si} (z)dz=z\operatorname {Si} (z)+\cos(z)+C}
  • ∫ Ci ⁡ ( z ) d z = z Ci ⁡ ( z ) − sin ⁡ ( z ) + C {\displaystyle \int \operatorname {Ci} (z)dz=z\operatorname {Ci} (z)-\sin(z)+C}

また、Si(z)のz→∞のときの値

lim z → ∞ Si ⁡ ( z ) = ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( t ) t d t = π 2 {\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }\operatorname {Si} (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t}}dt={\frac {\pi }{2}}}

はディリクレ積分といい、複素積分などを用いることによって示せる。

級数展開

ローラン級数

Si ⁡ ( z ) = z ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k ( 2 k + 1 ) 2 ( 2 k ) ! {\displaystyle \operatorname {Si} (z)=z\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)^{2}(2k)!}}}
Ci ⁡ ( z ) = γ + log ⁡ ( z ) + 1 2 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k k ( 2 k ) ! {\displaystyle \operatorname {Ci} (z)=\gamma +\log(z)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k(2k)!}}}

ベッセル級数

Si ⁡ ( z ) = π ∑ k = 0 ∞ J 1 2 + k ( z 2 ) 2 {\displaystyle \operatorname {Si} (z)=\pi \sum _{k=0}^{\infty }J_{{\frac {1}{2}}+k}{\Bigl (}{\frac {z}{2}}{\Bigr )}^{2}}

超幾何級数

Si ⁡ ( z ) = z ⋅ 2 F 1 [ 1 2 3 2 , 3 2 ; − z 2 4 ] {\displaystyle \operatorname {Si} (z)=z\cdot {_{2}F_{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]}
Ci ⁡ ( z ) = γ + log ⁡ z − z 2 4 ⋅ 2 F 3 [ 1 , 1 2 , 2 , 3 2 ; − z 2 4 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ci} (z)&=\gamma +\log {z}-{\frac {z^{2}}{4}}\cdot {_{2}F_{3}}\left[{\begin{matrix}1,1\\2,2,{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\end{aligned}}}

指数積分との関係

Ein ⁡ ( ± i z ) = Cin ⁡ ( z ) ± i Si ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Ein} (\pm iz)=\operatorname {Cin} (z)\pm i\operatorname {Si} (z)}

参考文献

  • Abramowitz, Milton [in 英語]; Stegun, Irene Ann [in 英語], eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 5". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 231. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253。Mathar, R.J. (2009). "Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(iπx)·x1/x between 1 and ∞". Appendix B. arXiv:0912.3844 [math.CA]。
  • Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). “Section 6.8.2 – Cosine and Sine Integrals”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300 
  • Sloughter, Dan. “Sine Integral Taylor series proof”. Difference Equations to Differential Equations. 2016年3月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2023年6月1日閲覧。
  • Temme, N.M. (2010), “Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals”, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, http://dlmf.nist.gov/6 

関連項目

外部リンク

  • Si(z) - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)
  • Ci(z) - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)
  • Sine integral: Series representations (wolfram.com)
  • Cosine integral: Representations through more general functions (wolfram.com)
  • 正弦積分 Si(x) - 高精度計算サイト (casio.jp)
  • http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Integral sine”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/i051650.htm 
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Integral cosine”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/i051370.htm 
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