ヴォイタ予想

数学では、ヴォイタ予想(Vojta's conjecture)は、ポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)1987により導入された、代数体上の代数多様体の点の高さについての予想である。予想は、ディオファントス近似と複素解析のネヴァンリンナ理論(Nevanlinna theory)（値分布論）の間の類似を動機としていた。ヴォイタ予想は、多くのディオファントス近似論やディオファントス方程式、数論幾何、ロジックの予想を含んでいる。

予想の記述

F {\displaystyle F} を数体とし、 X / F {\displaystyle X/F} 非特異代数多様体、 D {\displaystyle D} を X {\displaystyle X} 上の悪くとも正規交叉を持つ有効な因子、 H {\displaystyle H} を X {\displaystyle X} の上の豊富な因子、 K X {\displaystyle K_{X}} を X {\displaystyle X} の標準因子とする。 h H {\displaystyle h_{H}} と h K X {\displaystyle h_{K_{X}}} をヴェイユの高さ函数を選び、 F {\displaystyle F} 上の各々の絶対値 v {\displaystyle v} に対し、局所高さ函数を λ D , v {\displaystyle \lambda _{D,v}} とする。 F {\displaystyle F} の絶対値 S {\displaystyle S} の有限集合を固定し、 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} とすると、上記の選択に依存しない定数 C {\displaystyle C} と空でないザリスキー開集合 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} が存在し、全ての P ∈ U ( F ) {\displaystyle P\in U(F)} に対し、

∑ v ∈ S λ D , v ( P ) + h K X ( P ) ≤ ϵ h H ( P ) + C {\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C}

を満たす。

例

１、 X = P N {\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}} とすると、 K X ∼ − ( N + 1 ) H {\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H} であるので、ヴォイタ予想からは、すべての P ∈ U ( F ) {\displaystyle P\in U(F)} に対し、
∑ v ∈ S λ D , v ( P ) ≤ ( N + 1 + ϵ ) h H ( P ) + C {\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}
であることが分かる。
２、 X {\displaystyle X} を、例えば、K3曲面やカラビ・ヤウ多様体のような自明な標準バンドルを持つ多様体とすると、ヴォイタ予想は、 D {\displaystyle D} を有効な豊富な正規交叉の因子とすると、アフィン多様体 X ∖ D {\displaystyle X\setminus D} 上の S {\displaystyle S} -整な点は、ザリスキー稠密ではないことを予言する。
３、 X {\displaystyle X} を一般型の多様体、つまり、 K X {\displaystyle K_{X}} が X {\displaystyle X} のある空ではないザリスキー開集合上で豊富であるとすると、 S = ∅ {\displaystyle S=\emptyset } に対し、ヴォイタ予想は、 X ( F ) {\displaystyle X(F)} は X {\displaystyle X} 上のザリスキー稠密でないことを予言する。この一般型多様体の命題は、ボンビエリ・ラング予想（英語版）(Bombieri-Lang conjecture)である。

一般化

P {\displaystyle P} が X ( F ¯ ) {\displaystyle X({\overline {F}})} の上で変化するような一般化が存在し、体の拡大 F ( P ) / F {\displaystyle F(P)/F} の判別式とは独立な上限を持つ項が加わる。

非アルキメデス的な局所的高さ λ D , v {\displaystyle \lambda _{D,v}} が消去された局所的高さと置き換わる一般化が存在する。この高さでは、多重度を無視することが可能である。これらのヴォイタ予想には、ABC予想の自然な高次元類似をもたらすバージョンもある。

参考文献

  • Vojta, Paul (1987), Diophantine approximations and value distribution theory, Lecture Notes in Mathematics, 1239, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0072989, ISBN 978-3-540-17551-3, MR883451