ミルナー予想

曖昧さ回避 トーラス結び目のスライス種数についてのミルナー予想については「ミルナー予想 (トポロジー) 」をご覧ください。

数学において、ミルナー予想(Milnor conjecture)は、標数が 2 以外の一般の体 F のミルナーのK-理論 (mod 2) の論文 John Milnor (1970) により提示された。この理論は、係数を Z/2Z に持つ F のガロアコホモロジー、同じことであるがエタールコホモロジーに依拠している。本予想は、Vladimir Voevodsky (1996, 2003a, 2003b) で証明された。

定理のステートメント

F を標数が 2 でない体とすると、すべての n ≥ 0 に対し、同型

K n M ( F ) / 2 ≅ H e ´ t n ( F , Z / 2 Z ) {\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\cong H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}

が成り立つ。ここに K はミルナー環（英語版）(Milnor ring)を表す。

証明について

この定理のウラジーミル・ヴォエヴォドスキー(Vladimir Voevodsky)による証明は、ヴォエヴォドスキー自身、アレクサンドル・メルクリエフ（英語版）(Alexander Merkurjev)、アンドレイ・サスリン（英語版）(Andrei Suslin)、マーカス・ロスト（英語版）(Markus Rost)、ファビアン・モレル（英語版）(Fabien Morel)、エリック・フリーランダー（英語版）(Eric Friedlander)、他の多くのアイデアを使っている。アイデアは、モチーヴィックコホモロジー(motivic cohomology)（代数多様体の特異コホモロジー論の代用物のようなもの）とモチーヴィックスティンロッド代数（英語版）との新しい融合理論を含んでいる。

一般化

2 を除く素数に対するこの結果の類似は、ブロック・加藤の予想(Bloch–Kato conjecture)として知られていた。ヴォエヴォドスキーとマーカス・ロストの論文は、2009年にこの予想を完全に証明し、現在はノルム剰余同型定理として知られている。

参考文献

  • Mazza, Carlo; Voevodsky, Vladimir; Weibel, Charles (2006), Lecture notes on motivic cohomology, Clay Mathematics Monographs, 2, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3847-1, MR2242284, http://math.rutgers.edu/~weibel/motiviclectures.html 
  • Milnor, John Willard (1970), “Algebraic K-theory and quadratic forms”, Inventiones Mathematicae 9 (4): 318–344, doi:10.1007/BF01425486, ISSN 0020-9910, MR0260844 
  • Voevodsky, Vladimir (1996), The Milnor Conjecture, Preprint, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0170 
  • Voevodsky, Vladimir (2003a), “Reduced power operations in motivic cohomology”, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 98 (98): 1–57, doi:10.1007/s10240-003-0009-z, ISSN 0073-8301, MR2031198, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_2003__98__1_0 
  • Voevodsky, Vladimir (2003b), “Motivic cohomology with Z/2-coefficients”, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 98 (98): 59–104, doi:10.1007/s10240-003-0010-6, ISSN 0073-8301, MR2031199, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_2003__98__59_0 

さらに先の書籍

  • Kahn, Bruno (2005), “La conjecture de Milnor (d'après V. Voevodsky)”, in Friedlander, Eric M.; Grayson, D.R. (French), Handbook of K-theory, 2, Springer-Verlag, pp. 1105–1149, ISBN 3-540-23019-X, Zbl 1101.19001