オイラーの運動方程式

この項目では、剛体の力学の方程式について説明しています。流体力学の方程式については「オイラー方程式 (流体力学)」をご覧ください。

力学において、オイラーの運動方程式（オイラーのうんどうほうていしき）とは剛体の回転運動を表す式である。

一般に、トルク Nと角運動量 L の関係は、剛体の回転中心、または剛体の重心を原点とする慣性系においては次のような表式となる。

${\boldsymbol {N}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {L}}}{\mathrm {d} t}}$ ^[1]

剛体に固定された座標系における角運動量 L' と、剛体の角速度ベクトル ω を使うとこの式は以下のように表される。

${\boldsymbol {N}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {L}}'}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {L}}'$ ^[2]

慣性主軸座標系では主慣性モーメント I_i によって L_i = I_iω_i (i = 1, 2, 3) と表せることを使い、これを成分ごとに分解して整理すると、以下の式になる。

${\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\frac {\mathrm {d} \omega _{1}}{\mathrm {d} t}}-(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\frac {\mathrm {d} \omega _{2}}{\mathrm {d} t}}-(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}\\N_{3}&=&I_{3}{\frac {\mathrm {d} \omega _{3}}{\mathrm {d} t}}-(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}\\\end{matrix}}$ ^[3]