ウォリス積分

数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。

定義と証明

定義

ウォリス積分 I m {\displaystyle I_{m}} （m は 0 以上の整数）は

I m := ∫ 0 π 2 sin m ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 cos m ⁡ θ d θ {\displaystyle I_{m}:=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta }

で定義される。部分積分によって

I m + 1 = m ( I m − 1 − I m + 1 ) {\displaystyle I_{m+1}=m(I_{m-1}-I_{m+1})}

すなわち漸化式

I m + 1 I m − 1 = m m + 1 {\displaystyle {\frac {I_{m+1}}{I_{m-1}}}={\frac {m}{m+1}}}

が得られる。これより m の偶奇に応じて I m {\displaystyle I_{m}} の値が求まる。

  • I 2 n + 1 = 2 n 2 n + 1 ⋅ 2 n − 2 2 n − 1 ⋯ 2 3 ⋅ 1 = ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) ! ! = 1 2 n + 1 ⋅ 4 n 2 n C n {\displaystyle I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdots {\frac {2}{3}}\cdot 1={\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}={\frac {1}{2n+1}}\cdot {\frac {4^{n}}{{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}}}
  • I 2 n = 2 n − 1 2 n ⋅ 2 n − 3 2 n − 2 ⋯ 1 2 ⋅ π 2 = ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ⋅ π 2 = 2 n C n 4 n ⋅ π 2 {\displaystyle I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdots {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}{4^{n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}

ただし n ! ! {\displaystyle n!!} は二重階乗である。

ウォリス積分におけるウォリスの公式

  • lim m → ∞ m ∫ 0 π 2 sin m ⁡ θ d θ = lim m → ∞ m ∫ 0 π 2 cos m ⁡ θ d θ = π 2 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta ={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}

証明 — 先述の漸化式より

( m + 1 ) I m + 1 I m = m I m I m − 1 {\displaystyle (m+1)I_{m+1}I_{m}=mI_{m}I_{m-1}}

が成り立つ。故に数列 { m I m I m − 1 } {\displaystyle \{mI_{m}I_{m-1}\}} は定数列で

m I m I m − 1 = I 1 I 0 = π 2 . {\displaystyle mI_{m}I_{m-1}=I_{1}I_{0}={\frac {\pi }{2}}.}
∴ I m I m − 1 = π 2 m . {\displaystyle \therefore I_{m}I_{m-1}={\frac {\pi }{2m}}.}

ここで、 0 ≤ θ ≤ π 2 {\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}} で sin m + 1 ⁡ θ ≤ sin m ⁡ θ ≤ sin m − 1 ⁡ θ {\displaystyle \sin ^{m+1}\theta \leq \sin ^{m}\theta \leq \sin ^{m-1}\theta } より

I m + 1 ≤ I m ≤ I m − 1 I m + 1 I m ≤ I m 2 ≤ I m I m − 1 m m + 1 ⋅ π 2 ≤ m I m 2 ≤ π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&I_{m+1}\leq I_{m}\leq I_{m-1}\\&I_{m+1}I_{m}\leq {I_{m}}^{2}\leq I_{m}I_{m-1}\\&{\frac {m}{m+1}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\leq m{I_{m}}^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}

はさみうちの原理より

lim m → ∞ m I m = π 2 . {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\,I_{m}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}

m = 2n を代入すると先述の I 2 n {\displaystyle I_{2n}} の求値より

  • lim n → ∞ n ⋅ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}
  • lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}

スターリングの公式との関係

スターリングの公式：

lim n → ∞ n ! n ( e n ) n = 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}={\sqrt {2\pi }}}

はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し a n := n ! n ( e n ) n {\displaystyle a_{n}:={\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}} とおくと、

lim n → ∞ a 2 n a n 2 = 1 2 lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 2 π ( 2 π ) 2 = 1 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{2n}}{{a_{n}}^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {\sqrt {2\pi }}{({\sqrt {2\pi }})^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}

より

lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}

が得られる。

応用

ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。

導出については「ガウス積分#ウォリスの公式を用いて」を参照

またカタラン数 C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}} にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる：

  • C n ∼ 4 n n 3 / 2 π {\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}}

関連項目