Radice quadrata di una matrice

In matematica, per radice quadrata di una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ si intende ogni matrice quadrata ${\displaystyle X}$ tale che il suo quadrato sia ${\displaystyle X\cdot X=A}$. In generale, una matrice non possiede un'unica radice quadrata.

Procedimento numerico

Un procedimento per ottenere da una matrice ${\displaystyle A}$ una sua radice quadrata è quello chiamato iterazione per la radice quadrata di Denman-Beavers. Sia data la matrice quadrata ${\displaystyle A}$ di dimensione ${\displaystyle n}$, e si voglia ottenere ${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}}$. Il procedimento iterativo si serve di una sequenza di coppie di matrici ${\displaystyle \langle Y_{i},Z_{i}\rangle }$. Si definiscono:

${\displaystyle Y_{0}:=A{\mbox{ e }}Z_{0}:=I}$

dove ${\displaystyle I}$ denota la matrice identità ${\displaystyle n\times n}$. Si procede per un opportuno numero di iterazioni definite da:

${\displaystyle Y_{k+1}:=(Y_{k}+Z_{k}^{-1})/2\qquad Z_{k+1}:=(Z_{k}+Y_{k}^{-1})/2}$

Si trova che:

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow +\infty }Y_{k}=A^{\frac {1}{2}}}$

In alcuni casi un procedimento più efficiente per ottenere ${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}}$ è il seguente: si costruisce la matrice ${\displaystyle V}$ le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice data ${\displaystyle A}$. Si trova quindi la matrice ${\displaystyle V^{-1}}$ inversa di ${\displaystyle V}$, e si calcola:

${\displaystyle D:=V^{-1}AV}$

Questa è una matrice diagonale i cui elementi diagonali sono gli autovalori della ${\displaystyle A}$. Si rimpiazza ogni elemento diagonale della ${\displaystyle D}$ con la sua radice quadrata in modo da ottenere la matrice ${\displaystyle {\sqrt {D}}}$, e si ottiene la matrice richiesta come:

${\displaystyle {\sqrt {A}}=V{\sqrt {D}}V^{-1}}$

Con una odierna calcolatrice grafica questo procedimento risulta in genere più efficiente del precedente. Questo approccio è effettuabile solo per matrici diagonalizzabili. Per matrici non diagonalizzabili si può procedere con una decomposizione di Jordan combinata con uno sviluppo in serie simile a quello descritto per il logaritmo di una matrice.

Soluzione esplicita per matrici 2×2

Per il teorema di Hamilton-Cayley una generica matrice ${\displaystyle A}$ 2×2 soddisfa il polinomio caratteristico:

${\displaystyle x^{2}-\mathrm {tr} (A)x+\det(A)}$

cioè:

${\displaystyle A^{2}-\mathrm {tr} (A)A+\det(A)I=0}$

Indicando per brevità ${\displaystyle \mathrm {tr} (A)}$ con ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle \det(A)}$ con ${\displaystyle d}$ si ha:

${\displaystyle A^{2}-tA+dI=0}$

Muovendo il termine intermedio al secondo membro e completando il quadrato si ottiene:

${\displaystyle A^{2}\pm 2{\sqrt {d}}A+dI=tA\pm 2{\sqrt {d}}A}$

ovvero:

${\displaystyle \left(A\pm {\sqrt {d}}I\right)^{2}=\left(t\pm 2{\sqrt {d}}\right)A}$

Estraendo la radice quadrata ad ambo i membri si ottiene (compare un radicale doppio):

${\displaystyle \pm \left(A\pm {\sqrt {d}}I\right)={\sqrt {t\pm 2{\sqrt {d}}}}{\sqrt {A}}}$

da cui si ricava:

${\displaystyle {\sqrt {A}}=\pm {\frac {A\pm {\sqrt {d}}I}{\sqrt {t\pm 2{\sqrt {d}}}}}}$

Si noti che il segno ${\displaystyle \pm }$ che compare prima della frazione è indipendente dagli altri due, che invece sono dipendenti tra loro. Il numero totale delle radici quadrate di una matrice quadrata ${\displaystyle 2\times 2}$ è quindi ${\displaystyle 4}$, e di queste quella con tutti e tre i segni positivi è la radice principale. In altre parole:

${\displaystyle {\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a+{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d+{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a-{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d-{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a+{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d+{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{4}=-{\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a-{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d-{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}}$

Bibliografia

• (FR) Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales, chapitres 1 et 2, Springer, ISBN 3540353313
• (EN) Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenney, and Alan J. Laub, "Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy Archiviato il 3 settembre 2006 in Internet Archive.", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 22 (2001), no. 4, pp. 1112–1125.
• (EN) Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7
• (EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521467136
• (EN) Rudin, Walter (1991), Functional analysis, International series in pure and applied mathematics (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070542368

Voci correlate

• Decomposizione di Cholesky
• Logaritmo di una matrice

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