Isomorfismo musicale

L'isomorfismo musicale è un isomorfismo tra uno spazio vettoriale reale ${\displaystyle V}$ e il suo spazio duale ${\displaystyle V^{*},}$ che è indotto da una forma bilineare simmetrica non degenere. Nell'ambito della geometria riemanniana, si tratta di un isomorfismo tra il fibrato tangente ${\displaystyle T(M)}$ di una varietà riemanniana ${\displaystyle (M,g)}$ e il suo fibrato cotangente ${\displaystyle T^{*}(M),}$ che è indotto dalla metrica ${\displaystyle g.}$

Definizione

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. È noto che ${\displaystyle V}$ e il suo duale ${\displaystyle V^{*}}$ sebbene abbiano la stessa dimensione non sono canonicamente isomorfi. Tuttavia fissata una forma bilineare simmetrica non degenere ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$ su ${\displaystyle V,}$ si verifica che la mappa

${\displaystyle V\to V^{*}:{\mathbf {v} }\mapsto g({\mathbf {v} },\cdot )}$

è un isomorfismo di spazio vettoriali, che è detto isomorfismo musicale ed è indicato con il simbolo di bemolle ${\displaystyle \flat .}$ Il suo inverso, che è un isomorfismo ${\displaystyle V^{*}\to V,}$ è invece denotato con il simbolo di diesis ${\displaystyle \#.}$ Nel caso di una varietà riemanniana ${\displaystyle (M,g)}$ la metrica ${\displaystyle g}$ definisce in ogni punto ${\displaystyle p\in M}$ una forma bilineare simmetrica non degenere ${\displaystyle g_{p}(\cdot ,\cdot )}$ e quindi degli isomorfismi

${\displaystyle \flat \colon T_{p}(M)\to T_{p}^{*}(M)}$

e

${\displaystyle \#\colon T_{p}^{*}(M)\to T_{p}(M)}$

tra lo spazio tangente ${\displaystyle T_{p}(M)}$ e lo spazio cotangente ${\displaystyle T_{p}^{*}(M),}$ questi si estendono a isomorfismi tra il fibrato tangente e il fibrato cotangente di ${\displaystyle M}$.

Origine del nome

L'origine del nome isomorfismo "musicale" si comprende scrivendo i vettori in componenti. Sia ${\displaystyle \{{\mathbf {e} }_{1},\ldots ,{\mathbf {e} }_{n}\}}$ una base di ${\displaystyle V}$ e sia ${\displaystyle \{{\mathbf {e} }^{1},\ldots ,{\mathbf {e} }^{n}\}}$ la corrispondente base duale di ${\displaystyle V^{*},}$ cioè vale ${\displaystyle {\mathbf {e} }^{i}({\mathbf {e} }_{j})=\delta _{j}^{i},}$ dove ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ è la delta di Kronecker. Siano poi ${\displaystyle g_{ij}}$ le componenti della forma bilineare ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$ rispetto alla base ${\displaystyle {\mathbf {e} }^{i}\otimes {\mathbf {e} }^{j}}$, ossia ${\displaystyle g=g_{ij}{\mathbf {e} }^{i}\otimes {\mathbf {e} }^{j},}$ dove si è usata la convenzione di Einstein per le somme su indici ripetuti. Allora per un generico vettore ${\displaystyle {\mathbf {v} }=v^{i}{\mathbf {e} }_{i}\in V}$ le componenti ${\displaystyle v_{i}}$ di ${\displaystyle {\mathbf {v} }^{\flat },}$ cioè gli scalari che soddisfano ${\displaystyle {\mathbf {v} }^{\flat }=v_{i}{\mathbf {e} }^{i},}$ sono date da ${\displaystyle v_{i}=v^{j}g_{ij}.}$ Quest'ultima operazione "abbassa gli indici" analogamente a come il bemolle abbassa il tono delle note musicali. Similmente la relazione ${\displaystyle v^{i}=v_{j}g^{ij},}$ dove ${\displaystyle g^{ij}}$ sono le componenti della matrice inversa della matrice di componenti ${\displaystyle g_{ij},}$ permette di "alzare gli indici", come il ${\displaystyle \#}$ alza il tono delle note musicali.

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• (EN) R.L. Bishop e S.I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6.
• (EN) William Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Pure and Applied Mathematics, volume 120, 2ª ed., Orlando FL, Academic Press, 1986, ISBN 0-12-116053-X.
• (EN) Pedro Martinez Gadea, Jaime Muänoz Masquâe, Analysis and Algebra on Differential Manifolds, Springer, 2009, ISBN 90-481-3564-8.

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