Gerarchia di Von Neumann
![Niente fonti!](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/45px-Question_book-4.svg.png)
In teoria degli insiemi, si usa il termine gerarchia di Von Neumann per indicare una particolare successione parametrizzata con numeri ordinali e definita per ricorsione come segue:
(Con s'intende l'insieme delle parti di ).
Osserviamo che, mentre dato un qualsiasi ordinale si ha che è un insieme, l'unione
non è un insieme, ma una classe propria, infatti chiaramente esiste una funzione classe iniettiva, ma siccome è una classe propria allora l'immagine iniettiva di una classe propria è una classe propria.
Proprietà
Valgono i seguenti fatti:
Gerarchia di Von Neumann e assioma di fondazione
La gerarchia di Von Neumann assume un particolare interesse se si considera l'assioma di fondazione, infatti si dimostrano i seguenti fatti in ZFC\(Assioma di Fondazione):
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Von_Neumann_Hierarchy.svg/375px-Von_Neumann_Hierarchy.svg.png)
In altre parole, qualora si assuma per vero l'assioma di fondazione si ottiene (ricordiamo che con indichiamo la classe propria di tutti gli insiemi.
È interessante osservare che la scelta della lettera per designare tale classe, e quindi anche per indicare i vari insiemi della gerarchia, deriva dalla rappresentazione grafica a lato.
Questa raffigurazione permette anche di sottolineare la stretta relazione tra la gerarchia di Von Neumann e i concetti stessi di insiemi e classi: supponendo infatti di disegnare sul grafico alcune collezioni di oggetti, gli insiemi saranno sempre limitati da un elemento della gerarchia, le classi saranno tutte e sole le collezioni che "bucano" tutta la gerarchia verso l'alto.
Gerarchia di Von Neumann e numero beth
Sia α ordinale, allora:
con la tetrazione di 2 e il numero beth associato ad .
Modelli di ZF
Un qualsiasi elemento della gerarchia di Von Neumann, per come è definito, rispetta gran parte degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel. Ad esempio sarà chiuso per unione, conterrà l'insieme vuoto (con l'eccezione di )...
Si potrebbe quindi sperare di trovare uno o più elementi della gerarchia che siano modelli della ZF, ovvero rendano veri tutti gli assiomi. È interessare esaminare alcuni casi particolari:
- non rispetta l'assioma dell'infinito; infatti, sebbene stesso sia infinito, tutti i suoi elementi sono finiti. Si dimostra facilmente che rispetta tutti gli altri assiomi: .
- dato un qualsiasi ordinale successore , non rispetterà, tra gli altri, l'assioma della coppia: infatti conterrà ma non il singoletto , che non è altro che la coppia
- rispetta l'assioma dell'infinito (contiene ) e l'assioma della coppia (difatti è un ordinale limite, il più piccolo dopo ), ma non l'assioma di rimpiazzamento; infatti possiamo definire su ogni la funzione:
- Nonostante la funzione sia ben definita , l'immagine di tramite questa funzione sarebbe , che non è un elemento di (nonostante ne sia un sottoinsieme).
In ultima analisi, si dimostra che un cardinale inaccessibile (maggiore di ) è tale che è un modello per ZF; il fatto che la loro esistenza sia indecidibile all'interno di ZF è in linea con il secondo teorema di incompletezza di Gödel, che afferma che una teoria sufficientemente potente non può provare la propria coerenza, e quindi non si può trovare un modello per la ZF nell'ambito della ZF stessa.
Bibliografia
- F. R. Drake, Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic & the Foundations of Mathematics - Vol 76), 1974.
Voci correlate
- Assioma di regolarità
- Numero ordinale (teoria degli insiemi)
- numero beth
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)