Fase di Berry

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La fase di Berry, introdotta dal fisico britannico Michael Berry, è la fase acquistata da uno stato quantistico a seguito di una variazione adiabatica ciclica dell'Hamiltoniana descrivente la dinamica del sistema. Tale fase è anche detta fase geometrica poiché dipende dalla geometria dello spazio degli stati quantistici per il sistema in esame, in contrapposizione alla fase dinamica che è acquistata da un autostato della Hamiltoniana durante la sua evoluzione temporale, dettata dalla soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Si consideri un sistema descritto da un'Hamiltoniana ${\displaystyle {\mathit {H}}}$ e da uno stato quantistico ${\displaystyle |\psi \rangle }$. Supponiamo che ${\displaystyle {\mathit {H}}}$ dipenda da un parametro λ reale e che esso vari nel tempo. Partendo da una situazione iniziale che vede il sistema nell'm-esimo autostato dell'Hamiltoniana ${\displaystyle {\mathit {H}}{\bigl (}\lambda (t_{0}){\bigr )}}$, se la variazione del parametro è sufficientemente lenta, il teorema adiabatico stabilisce che a un tempo successivo t il sistema si troverà ancora nell'm-esimo autostato della nuova Hamiltoniana ${\displaystyle \mathrm {H} {\bigl (}\lambda (t){\bigr )}}$.

In formule:

${\displaystyle {\bigl |}\psi (t){\bigr \rangle }=e^{i\theta (t)}{\bigl |}\psi (t_{0}){\bigr \rangle }=e^{i\theta (t)}{\bigl |}m(t_{0}){\bigr \rangle }=\mathrm {exp} {\bigg (}{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}E_{m}{\bigl (}\lambda (t'){\bigr )}\,\mathrm {d} t'{\bigg )}e^{i\gamma (t)}{\bigl |}m(t_{0}){\bigr \rangle }}$,

dove nell'ordine sono stati usati il teorema adiabatico, la condizione iniziale e una conveniente riscrittura della fase acquistata per distinguere il contributo dinamico da quello geometrico ${\displaystyle \gamma (t)}$; quest'ultimo definisce la fase di Berry.

Per come è stata qui definita, la fase di Berry è un semplice artificio formale, dato che non è garantito che essa sia diversa da zero per qualche reale sistema fisico. Un esempio concreto in cui tale fase si manifesta si ottiene considerando una particella di spin ${\displaystyle l}$ interagente in un campo magnetico ${\displaystyle B}$. L'Hamiltoniana di tale interazione è data da

${\displaystyle {\mathit {H}}=\alpha {\vec {S}}\cdot {\vec {B}}}$,

dove ${\displaystyle \alpha }$ è una costante opportuna, ${\displaystyle {\vec {S}}}$ è lo spin della particella e ${\displaystyle {\vec {B}}}$ il campo; in questo caso, il campo viene considerato come il parametro per l'Hamiltoniana. Supponiamo che all'inizio esso sia parallelo all'asse ${\displaystyle z}$ e che il sistema si trovi nell'autostato di ${\displaystyle S_{z}}$ relativo all'autovalore ${\displaystyle m\hbar }$ (che è anche autostato dell'energia); si può dimostrare allora che la fase di Berry del campo associata a un cammino chiuso ${\displaystyle C}$ è data da

${\displaystyle \gamma (C)=m\int _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} B}{B^{2}}}=m\Omega (\Sigma )}$

dove ${\displaystyle \Sigma }$ è una superficie che ha ${\displaystyle C}$ come frontiera, e si è indicato con ${\displaystyle \Omega (\Sigma )}$ l'angolo solido di tale superficie.

La fase di Berry è stata utilizzata per descrivere l'effetto Aharonov-Bohm e l'effetto Jahn-Teller.

• Effetto Aharonov-Bohm
• Curvatura di Berry

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