Autofunzioni del momento angolare

In meccanica quantistica, le autofunzioni del momento angolare sono le autofunzioni che rappresentano gli autostati dell'operatore momento angolare nella base della posizione.

Considerata la componente ${\displaystyle L_{z}}$ del momento angolare:

${\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}$

risolvendo l'equazione agli autovalori:

${\displaystyle L_{z}\psi (x,y,z)=m\hbar \psi (x,y,z)}$

Riscriviamo l'operatore ${\displaystyle L_{z}}$ in coordinate sferiche:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \sin \theta \\y=r\sin \varphi \sin \theta \\z=r\cos \theta \end{cases}}}$

Allora le derivate parziali diventano:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x}}=\cos \varphi \sin \theta {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi \cos \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial }{\partial y}}=\sin \varphi \sin \theta {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\sin \varphi \cos \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial }{\partial z}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\end{cases}}}$

L'operatore ${\displaystyle L_{z}}$ diventa:

${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$

L'equazione agli autovalori per ${\displaystyle L_{z}}$ diventa (${\displaystyle \psi }$ dipende solo da ${\displaystyle \varphi }$):

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial \psi (\varphi )}{\partial \varphi }}=m\hbar \psi (\varphi )}$

questa è un'equazione differenziale al primo ordine, con soluzione generale:

${\displaystyle \psi (\varphi )=Ce^{im\varphi }}$

Non resta che trovare il valore della costante, che deve essere tale che:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|\psi (\varphi )|^{2}\,d\varphi =|C|^{2}\int _{0}^{2\pi }\,d\varphi =1}$

da cui:

${\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$

Per cui l'autofunzione di ${\displaystyle L_{z}}$ è in definitiva:

${\displaystyle \psi (\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }}$

Le espressioni di ${\displaystyle L_{x}}$ ed ${\displaystyle L_{y}}$ sono:

${\displaystyle {\begin{cases}L_{x}=i\hbar \left(\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\cos \varphi }{\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\\L_{y}=i\hbar \left(-\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\sin \varphi }{\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\end{cases}}}$

ovviamente non vi è nessun motivo particolare per scegliere la componente ${\displaystyle L_{z}}$, ma visto che una rotazione degli assi nello spazio non modifica lo stato quantistico, possiamo sempre immaginare di porci con l'asse ${\displaystyle z}$ in modo tale che il momento angolare abbia proiezione su ${\displaystyle z}$.

Riscriviamo il momento angolare (quadrato) ${\displaystyle {\vec {L}}^{2}}$ in coordinate polari sferiche:

${\displaystyle {\vec {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]}$

e gli operatori di scala sempre in coordinate polari sferiche:

${\displaystyle L_{\pm }=\hbar e^{\pm i\varphi }\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)}$

Sappiamo che l'autofunzione è simultanea di ${\displaystyle {\vec {L}}^{2}}$ e ${\displaystyle L_{z}}$. Abbiamo trovato la soluzione di ${\displaystyle L_{z}}$. Esprimiamo l'autofunzione completa con:

${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\cdot \Phi (\varphi )=\Theta (\theta )\cdot e^{im\varphi }}$

dove si è sostituita la soluzione per ${\displaystyle L_{z}}$. Ci resta da determinare ${\displaystyle \Theta (\theta )}$, che dipende solo dall'angolo ${\displaystyle \theta }$. Per fare ciò cerchiamo la soluzione dell'equazione agli autovalori, ricordando che gli autovalori del momento angolare orbitale sono ${\displaystyle l(l+1)}$:

${\displaystyle -\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}$

Esplicitiamo la soluzione per ${\displaystyle \Phi (\varphi )}$ trovata sopra:

${\displaystyle -\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]e^{im\varphi }\Theta (\theta )=\hbar ^{2}l(l+1)e^{im\varphi }\Theta (\theta )}$

quindi eseguendo la derivata seconda sull'esponenziale al primo membro e semplificando ${\displaystyle \hbar ^{2}}$:

${\displaystyle \left[-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\Theta (\theta )=l(l+1)\Theta (\theta )}$

Facciamo un cambio di variabile esprimendo tutto in termini di ${\displaystyle \cos \theta }$:

${\displaystyle \theta \to \cos \theta \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}}$

quindi:

${\displaystyle \left[{\frac {m^{2}}{1-\cos ^{2}\theta }}-{\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}\left((1-\cos ^{2}\theta ){\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}\right)\right]\Theta (\cos \theta )=l(l+1)\Theta (\cos \theta )}$

Per ${\displaystyle m=0}$ questa equazione è quella di Liouville:

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}\left((1-\cos ^{2}\theta ){\frac {\partial }{\partial (\cos \theta )}}\right)\Theta _{l,m=0}(\cos \theta )=l(l+1)\Theta _{l,m=0}(\cos \theta )}$

con soluzione:

${\displaystyle \Theta _{l,m=0}={\frac {(-1)^{l}}{2^{l}\cdot l!}}{\frac {d^{l}}{d(\cos \theta )^{l}}}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}}$

La soluzione ${\displaystyle \Theta _{l,m}}$ è:

${\displaystyle \Theta _{l,m}=C{\frac {1}{(\sin \theta )^{m}}}\left({\frac {d}{d(\cos \theta )}}\right)^{l-m}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}}$

dove C è una costante di normalizzazione.

Abbiamo quindi trovato che l'autofunzione del momento angolare ${\displaystyle {\vec {L}}^{2}}$ e della sua componente ${\displaystyle L_{z}}$ (è simultanea perché ${\displaystyle [{\vec {L}}^{2},L_{z}]=0}$) può essere espressa:

${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\cdot \Phi (\varphi )=\Theta (\theta )\cdot e^{im\varphi }}$

dove:

${\displaystyle \Phi (\varphi )=e^{im\varphi }}$

e

${\displaystyle \Theta _{l,m}=C{\frac {1}{(\sin \theta )^{m}}}\left({\frac {d}{d(\cos \theta )}}\right)^{l-m}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}}$

dove inglobiamo le costanti di normalizzazione nel fattore C. Quindi la soluzione completa è data:

${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=C{\frac {e^{im\varphi }}{(\sin \theta )^{m}}}\left({\frac {d}{d(\cos \theta )}}\right)^{l-m}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}}$

queste soluzioni sono ben note alla fisica matematica e si chiamano armoniche sferiche, che dipendono ovviamente dai valori di ${\displaystyle l=0,1,\dots }$ ed ${\displaystyle m=-l,-l+1,\dots ,l}$. Le armoniche sferiche hanno importanti proprietà di parità, tra le quali:

${\displaystyle Y_{l,m}(\pi -\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l,m}}$

che ha un diretto significato fisico, essa rappresenta l'inversione spaziale delle coordinate polari sferiche.

• Jun John Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Bologna, Zanichelli, ISBN 88-08-12706-0.
• Lev Landau e Evgenij Lifšic, Fisica Teorica III: Meccanica quantistica - teoria non relativistica, Roma, Editori Riuniti, ISBN 88-359-5606-4.

• Numero quantico
• Numero quantico orbitale
• Operatore momento angolare
• Spin