Segiempat garis singgung

Sebuah segiempat garis singgung bersama dengan lingkaran dalamnya

Dalam geometri Euklides, segiempat garis singgung adalah segiempat yang bersifat cembung dengan keempat sisinya menyinggung sebuah lingkaran, dan lingkaran itu merupakan lingkaran dalam.

Ciri-ciri

Menurut teorema Pitot, dua pasangan sisi yang berhadapan di sebuah segiempat garis singgung itu sama panjang, sehingga jumlah darinya sama dengan semiperimeter dari segiempat

a + c = b + d = a + b + c + d 2 . {\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}.}

Sebaliknya, jumlah panjang sisi a + c = b + d {\textstyle a+c=b+d} di sebuah segiempat cembung harus tangensial.[1]

Luas

Luas tanpa menggunakan trigonometri

Luas dari segiempat garis singgung dirumuskan sebagai

r ⋅ s , {\displaystyle r\cdot s,}
dengan s {\displaystyle s} adalah semiperimeter dan r {\displaystyle r} adalah jari-jari lingkaran dalam. Rumus lainnya untuk luas dari segiempat adalah[2]
1 2 p 2 q 2 − ( a c − b d ) 2 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}},}
dengan p {\displaystyle p} dan q {\displaystyle q} adalah garis diagonal, serta a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} adalah sisi-sisi dari segiempat garis singgung.

Luas dari segiempat garis singgung juga dapat dinyatakan hanya dengan diketahui keempat panjang garis singgung e , f , g , h {\displaystyle e,f,g,h} [3]

( e + f + g + h ) ( e f g + f g h + g h e + h e f ) . {\displaystyle {\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}

Luas dengan menggunakan trigonometri

Luas dari segiempat garis singgung dapat diketahui dengan menggunakan panjang sisi a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} beserta dua buah sudut hadapan[4]

a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . {\displaystyle {\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}

Untuk diketahui panjang sisinya, luasnya akan maksimum ketika segiempat adalah siklik dan bicentric. Oleh karena itu, luas dari segiempat garis singgung adalah a b c d {\textstyle {\sqrt {abcd}}} sebab sudut hadapannya adalah suplementer. Rumus ini dapat dibuktikan dengan cara lain menggunakan kalkulus.[5]

Rumus lain untuk luas dari segiempat garis singgung A B C D {\displaystyle ABCD} yang melibatkan dua sudut hadapan adalah[6]

( I A ⋅ I C + I B ⋅ I D ) sin ⁡ A + C 2 {\displaystyle \left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}
dengan I {\displaystyle I} adalah pusat lingkaran dalam.

Terlebih lagi, luasnya dapat dinyatakan menggunakan dua sisi yang berdampingan dan dua sudut hadapan sebagai[7]

a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . {\displaystyle ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}

Catatan kaki

  1. ^ Josefsson 2011, hlm. 65; Andreescu & Enescu 2006, hlm. 64–68.
  2. ^ Durell & Robson 2003, hlm. 28–30.
  3. ^ Josefsson 2010.
  4. ^ Durell & Robson 2003, hlm. 28–30; Siddons & Hughes 1929, hlm. 203; Grinberg 2008, hlm. 11; Yiu 1998, hlm. 156–157.
  5. ^ Hoyt 1986.
  6. ^ Grinberg 2008, hlm. 19.
  7. ^ Durell 2003, hlm. 28–30.

Referensi

  • Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006), Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser .
  • Durell, C.V.; Robson, A. (2003), Advanced Trigonometry, Dover reprint .
  • Grinberg, Darij (2008), Circumscribed quadrilaterals revisited (PDF) .
  • Hoyt, John P. (1986), "Maximizing the Area of a Trapezium", American Mathematical Monthly, 93 (1): 54–56, doi:10.2307/2322549 .
  • Josefsson, Martin (2010), "Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130 .</ref>
  • Josefsson, Martin (2011), "More Characterizations of Tangential Quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82 .
  • Siddons, A.W.; Hughes, R.T. (1929), Trigonometry, Cambridge Univ. Press .
  • Yiu, Paul (1998), Euclidean Geometry (PDF) .