Polinomial karakteristik


Dalam aljabar linear, polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah suatu polinomial yang invarian dalam keserupaan dan memiliki nilai-nilai eigen sebagai akar-akarnya. Nilai Determinan dan teras dari matriks ada di dalam koefisien-koefisien polinomial karakteristik. Persamaan karakteristik atau juga dikenal sebagai persamaan determinan,[1][2][3] adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.

Dengan definisi yang serupa, polinomial karakteristik dari endomorfisme suatu ruang vektor dimensi terhingga, adalah polinomial karakteristik dari representrasi matriks dari endomorfisme tersebut, atas sebarang basis; yang mengartikan polinomial karakteristik tidak bergantung pada pemilihan basis. Dalam teori graf spektral, polinomial karakteristik dari sebuah graf adalah polinomial karakteristik dari matriks kedampingan graf tersebut.[4]

Motivasi

Dalam aljabar linear, nilai dan vektor eigen memainkan peran penting, karena untuk sebarang pilihan transformasi linear, vektor eigen adalah vektor yang arahnya tidak berubah akibat transformasi tersebut, dan nilai eigen yang berkorespodensi dengan vektor eigen tersebut menyatakan perubahan besar vektor.

Dalam penjelasan yang lebih presisi, jika transformasi dinyatakan sebagai sebuah matriks persegi A , {\displaystyle A,} maka vektor eigen v {\displaystyle \mathbf {v} } dan nilai eigen λ {\displaystyle \lambda } yang berkorespoden dengannya, harus memenuhi persamaan berikut

A v = λ v , {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}
atau, setara dengan bentuk di atas,
( λ I − A ) v = 0 {\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =0}
dengan I {\displaystyle I} menyatakan matriks identitas, dan v ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} } (vektor nol tidak dianggap sebagai vektor eigen, walaupun memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai λ {\displaystyle \lambda } ). Hal ini menyimpulkan bahwa matriks ( λ I − A ) {\displaystyle (\lambda I-A)} harus bersifat singular, dan determinan-nya bernilai nol, yang ditulis sebagai det ( λ I − A ) = 0. {\displaystyle \det(\lambda I-A)=0.} Dengan kata lain, nilai eigen dari A {\displaystyle A} adalah akar-akar dari det ( x I − A ) , {\textstyle \det(xI-A),} yakni polinomial monik dalam x {\displaystyle x} dan berderajat n {\displaystyle n} , ketika A {\displaystyle A} berukuran n × n {\displaystyle n\times n} . Polinomial ini merupakan polinomial karakteristik dari A {\displaystyle A} .

Definisi formal

Misalkan A {\displaystyle A} adalah matriks atas lapangan K {\displaystyle K} dan berukuran n × n {\displaystyle n\times n} . Polinomial karakterisitik dari A {\displaystyle A} , yang dinyatakan dengan notasi p A ( t ) , {\displaystyle p_{A}(t),} adalah polinomial yang didefinisikan sebagai[5]

p A ( t ) = det ( t I − A ) {\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}
dengan I {\displaystyle I} melambangkan matriks identitas berukuran n × n {\displaystyle n\times n} .

Ada sebagian penulis yang mendefinisikan polinomial karakteristik sebagai det ( A − t I ) {\displaystyle \det(A-tI)} . Polinomial tersebut berbeda dengan polinomial yang didefinisikan sebelumnya, dengan sebuah tanda ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} . Walau tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti akar-akarnya adalah nilai eigen dari A {\displaystyle A} , polinomial det ( A − t I ) {\displaystyle \det(A-tI)} hanya bersifat monik ketika n {\displaystyle n} genap.

Contoh-contoh

Misalkan kita ingin menentukan polinomial karakteristik dari matriks

A = ( 2 1 − 1 0 ) . {\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}
Untuk itu, kita perlu menghitung determinan dari matriks
t I − A = ( t − 2 − 1 1 t − 0 ) {\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}
sehingga diperoleh polinomial karakteristik dari matriks A {\displaystyle A} , yaitu ( t − 2 ) t − 1 ( − 1 ) = t 2 − 2 t + 1 {\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1} .

Contoh berikut menggunakan fungsi hiperbolik dari sudut hiperbolik φ {\displaystyle \varphi } . Untuk matriks

A = ( cosh ⁡ ( φ ) sinh ⁡ ( φ ) sinh ⁡ ( φ ) cosh ⁡ ( φ ) ) , {\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}},}
polinomial karakteristik dari matriks tersebut adalah
det ( t I − A ) = ( t − cosh ⁡ ( φ ) ) 2 − sinh 2 ⁡ ( φ ) = t 2 − 2 t   cosh ⁡ ( φ ) + 1 = ( t − e φ ) ( t − e − φ ) . {\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}

Sifat-sifat

Polinomial karakteristik p A ( t ) {\displaystyle p_{A}(t)} dari sebuah matriks n × n {\displaystyle n\times n} bersifat monik (koefisien dari suku terbesarnya adalah 1) dan derajatnya adalah n {\displaystyle n} . Fakta yang terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah disebut di bagian Motivasi: nilai-nilai eigen A {\displaystyle A} adalah akar-akar dari p A ( t ) {\displaystyle p_{A}(t)} (fakta ini juga berlaku untuk polinomial minimal dari A {\displaystyle A} , namun derajatnya dapat lebih kecil dari n {\displaystyle n} ). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi dari entri-entri matriks. Secara khusus, koefisien t 0 {\displaystyle t^{0}} bernilai det ( − A ) = ( − 1 ) n det ( A ) {\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A)} , koefisien t n {\displaystyle t^{n}} bernilai 1 {\displaystyle 1} , dan koefisien t n − 1 {\displaystyle t^{n-1}} bernilai tr ⁡ ( − A ) = − tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (-A)=-\operatorname {tr} (A)} , dengan tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A)} melambangkan teras dari A {\displaystyle A} . (Tanda yang diberikan di bagian ini disesuaikan dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya;[6] sedangkan untuk definisi alternatif, masing-masing koefisien tersebut akan memiliki nilai det ( A ) {\displaystyle \det(A)} dan ( − 1 ) n − 1 tr ⁡ ( A ) {\displaystyle (-1)^{n-1}\operatorname {tr} (A)} .[7]) Sebagai contoh, untuk sebarang matriks A {\displaystyle A} dengan ukuran 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} , polinomial karakteristiknya dirumuskan dengan

t 2 − tr ⁡ ( A ) t + det ( A ) . {\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}

Dengan menggunakan bahasa aljabar eksterior, polinomial karakteristik dari matriks A {\displaystyle A} berukuran n × n {\displaystyle n\times n} dapat dinyatakan sebagai

p A ( t ) = ∑ k = 0 n t n − k ( − 1 ) k tr ⁡ ( ⋀ k A ) {\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}
dengan tr ⁡ ( ⋀ k A ) {\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)} menyatakan teras dari pangkat eksterior dari A {\displaystyle A} , yang memiliki dimensi ( n k ) {\textstyle {\binom {n}{k}}} . Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama ukuran k {\displaystyle k} dari A {\displaystyle A} . Algoritme rekursif Faddeev–LeVerrier menghitung koefisien-koefisien tersebut dengan cara yang lebih efisien. Ketika lapangan dari koefisien-koefisien memiliki karakteristik bernilai 0, setiap teras dapat dihitung sebagai sebuah determinan tunggal dari matriks k × k {\displaystyle k\times k} , yakni
tr ⁡ ( ⋀ k A ) = 1 k ! | tr ⁡ A k − 1 0 ⋯ tr ⁡ A 2 tr ⁡ A k − 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ tr ⁡ A k − 1 tr ⁡ A k − 2 ⋯ 1 tr ⁡ A k tr ⁡ A k − 1 ⋯ tr ⁡ A | . {\displaystyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}.}

Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa mensubtitusi t {\displaystyle t} dalam polinomial karakteristik dengan A {\displaystyle A} (dan memandang operasi perpangkatan sebagai perpangkatan matriks, dan suku konstan c {\displaystyle c} sebagai perkalian c {\displaystyle c} dengan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol. Secara informal, hubungan ini mengartikan setiap matriks memenuhi persamaan karakteristik mereka. Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa polinomial minimal A {\displaystyle A} membagi polinomial karakteristik A {\displaystyle A} .

Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: dua matriks dengan polinomial karakteristik yang sama belum tentu serupa.

Sebarang matriks dan transpos-nya memiliki polinomial karakteristik yang sama. Matriks A {\displaystyle A} serupa dengan matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor-faktor linear atas K {\displaystyle K} (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal). Dalam kasus ini, A {\displaystyle A} serupa dengan suatu matriks dalam bentuk normal Jordan.

Polinomial karakteristik dari perkalian dua matriks

Jika A {\displaystyle A} dan B {\displaystyle B} adalah dua matriks persegi berukuran n × n {\displaystyle n\times n} , maka polinomial karakteristik dari A B {\displaystyle AB} dan B A {\displaystyle BA} adalah sama; dengan kata lain,

p A B ( t ) = p B A ( t ) . {\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).}
Jika A {\displaystyle A} bersifat tak singular (terbalikkan), maka hasil berikut dapat disimpulkan dari fakta A B {\displaystyle AB} dan B A {\displaystyle BA} serupa:
B A = A − 1 ( A B ) A . {\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}
Sedangkan untuk kasus A {\displaystyle A} dan B {\displaystyle B} berupa matriks singular, identitas yang diinginkan adalah sebuah kesamaan pada kedua polinomial karakteristik (dalam t {\displaystyle t} ) mereka dan pada koefisien-koefisien dari matriks. Dengan demikian, kesamaan dapat ditunjukkan dengan cukup membuktikan bahwa kesamaan tersebut berlaku pada suatu subhimpunan buka tak kosong (untuk topologi biasa, atau lebih umumnya untuk topologi Zariski) dari ruang semua koefisien. Karena matriks tak singular membentuk subhimpunan buka dari ruang semua matriks, maka kesamaan berhasil ditunjukkan.

Lebih umumnya, jika matriks A {\displaystyle A} berukuran m × n {\displaystyle m\times n} dan B {\displaystyle B} berukuran n × m {\displaystyle n\times m} , maka A B {\displaystyle AB} adalah matriks m × m {\displaystyle m\times m} dan B A {\displaystyle BA} adalah matriks n × n {\displaystyle n\times n} , dan terdapat hubungan

p B A ( t ) = t n − m p A B ( t ) . {\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).}
Untuk membuktikan hal tersebut, anggap n > m {\displaystyle n>m} , dengan menukarkan A {\displaystyle A} dan B {\displaystyle B} kalau diperlukan. Lalu, dengan menambahkan n − m {\displaystyle n-m} baris nol setelah baris terbawah di matriks A {\displaystyle A} , dan menambahkan n − m {\displaystyle n-m} kolom nol setelah kolom terkanan di matriks B {\displaystyle B} , akan didapatkan dua matriks berukuran n × n {\displaystyle n\times n} , yakni A ′ {\displaystyle A'} dan B ′ {\displaystyle B'} . Kedua matriks yang baru ini memenuhi B ′ A ′ = B A {\displaystyle B'A'=BA} dan A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} sama dengan A B {\displaystyle AB} yang dibatasi oleh n − m {\displaystyle n-m} baris dan kolom nol. Dengan demikian, hubungan dapat ditunjukkan dengan menggunakan kasus matriks persegi lalu membandingkan polinomial karakteristik A ′ B ′ {\displaystyle A'B'} dan A B {\displaystyle AB} .

Polinomial karakteristik dari Ak

Jika λ {\displaystyle \lambda } adalah nilai eigen dari matriks persegi A {\displaystyle A} yang berkorespodensi dengan vektor eigen v {\displaystyle \mathbf {v} } , maka λ k {\displaystyle \lambda ^{k}} adalah nilai eigen dari A k {\displaystyle A^{k}} , sebab

A k v = A k − 1 A v = λ A k − 1 v = ⋯ = λ k v . {\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}
Sifat yang sama dapat ditunjukkan berlaku untuk kelipatan dari matriks, dan dapat diperumum untuk sebarang polinomial:[8]

Teorema — Misalkan A {\displaystyle A} adalah matriks persegi n × n {\displaystyle n\times n} , dan misalkan f ( t ) {\displaystyle f(t)} adalah suatu polinomial. Jika polinomial karakteristik dari A {\displaystyle A} memiliki faktorisasi

p A ( t ) = ( t − λ 1 ) ( t − λ 2 ) ⋯ ( t − λ n ) , {\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n}),}
maka polinomial karakteristik dari matriks f ( A ) {\displaystyle f(A)} dirumuskan sebagai
p f ( A ) ( t ) = ( t − f ( λ 1 ) ) ( t − f ( λ 2 ) ) ⋯ ( t − f ( λ n ) ) . {\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}

Teorema ini mengartikan bahwa kelipatan aljabar (algebraic multiplicity) dari λ {\displaystyle \lambda } dalam f ( A ) {\displaystyle f(A)} sama dengan jumlah kelipatan-kelipatan aljabar λ ′ {\displaystyle \lambda '} dalam A {\displaystyle A} atas λ ′ {\displaystyle \lambda '} yang memenuhi f ( λ ′ ) = λ {\displaystyle f(\lambda ')=\lambda } . Secara khusus, tr ⁡ ( f ( A ) ) = ∑ i = 1 n f ( λ i ) {\textstyle \operatorname {tr} (f(A))=\sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})} dan det ⁡ ( f ( A ) ) = ∏ i = 1 n f ( λ i ) {\textstyle \operatorname {det} (f(A))=\prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})} . Sebagai contoh, polinomial f ( t ) = t 3 + 1 {\displaystyle f(t)=t^{3}+1} yang dievaluasi pada matriks A {\displaystyle A} , dapat ditulis dengan sederhana sebagai f ( A ) = A 3 + 1 {\displaystyle f(A)=A^{3}+1} .

Teorema tersebut berlaku untuk matriks dan polinomial atas sebarang lapangan maupun gelanggang komutatif.[9] Akan tetapi, asumsi bahwa p A ( t ) {\displaystyle p_{A}(t)} memiliki faktorisasi berupa faktor-faktor linear tidak selalu benar, kecuali untuk matriks atas suatu lapangan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.

Bukti

Bukti ini hanya berlaku kepada matriks dan polinomal atas bilangan kompleks (atau sebarang lapangan tertutup secara aljabar lainnya). Dalam kasus ini, polinomial karakteristik dari sebarang matriks persegi dapat selalu difaktorkan sebagai

p A ( t ) = ( t − λ 1 ) ( t − λ 2 ) ⋯ ( t − λ n ) {\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}
dengan λ 1 , λ 2 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{n}} adalah nilai-nilai eigen dari A {\displaystyle A} , mungkin beberapanya kembar (repeated). Selain itu, teorema penguraian Jordan menjamin bahwa sebarang matriks persegi A {\displaystyle A} dapat diuraikan sebagai A = S − 1 U S {\displaystyle A=S^{-1}US} , dengan S {\displaystyle S} adalah sebuah matriks terbalikkan dan U {\displaystyle U} adalah matriks segitiga atas yang diagonal utamanya memiliki entri λ 1 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\,\dots ,\,\lambda _{n}} (dengan setiap nilai eigen kembar menurut kelipatan aljabarnya). Bentuk normal Jordan memiliki beberapa sifat yang kuat, namun ini sudah cukup; penguraian Schur dapat digunakan sebagai alternatif pembuktian, yang lebih mudah namun kurang populer.

Misalkan f ( t ) = ∑ i α i t i {\displaystyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}} . Dengan menggunakan penguraian Jordan,

f ( A ) = ∑ α i ( S − 1 U S ) i = ∑ α i S − 1 U S S − 1 U S ⋯ S − 1 U S = ∑ α i S − 1 U i S = S − 1 ( ∑ α i U i ) S = S − 1 f ( U ) S . {\displaystyle {\begin{aligned}f(A)&=\sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}\\&=\sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S\\&=S^{-1}(\sum \alpha _{i}U^{i})S\\&=S^{-1}f(U)S.\end{aligned}}}
Untuk matriks segitiga atas U {\displaystyle U} dengan entri diagonal λ 1 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}} , U i {\displaystyle U^{i}} adalah matriks segitiga atas dengan entri diagonal λ 1 i , … , λ n i {\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}} , dan akibatnya f ( U ) {\displaystyle f(U)} adalah matriks segitiga atas dengan diagonal f ( λ 1 ) , … , f ( λ n ) {\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n})} . Hal ini menyebabkan nilai-nilai eigen dari f ( U ) {\displaystyle f(U)} adalah f ( λ 1 ) , … , f ( λ n ) {\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n})} . Karena f ( A ) = S − 1 f ( U ) S {\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S} serupa dengan f ( U ) {\displaystyle f(U)} , kedua matriks memiliki nilai-nilai eigen dan kelipatan aljabar yang sama.

Fungsi sekuler dan persamaan sekuler

Fungsi sekuler

Istilah fungsi sekuler digunakan untuk hal yang sekarang disebut polinomial karakteristik (beberapa literatur masih menggunakan istilah fungsi sekuler). Istilah tersebut muncul dari penggunaan polinomial karakteristik untuk menghitung pertubasi sekuler (pada suatu skala waktu sekitar dalam rentang abad, yang lebih lambat dibandingkan dengan gerakan tahunan) dari orbit-orbit planet, menurut teori Lagrange mengenai ayunan.

Persamaan sekuler

Persamaan sekuler memiliki beberapa arti.

  • Dalam aljabar linear, istilah ini terkadang digunakan untuk merujuk persamaan karakteristik.
  • Dalam astronomi, istilah merujuk pada ekspresi aljabar atau numerik dari besar pertidaksamaan dalam pada gerakan planet, yang tersisa setelah pertidaksamaan jangka pendek sudah disertakan.[10]
  • Dalam orbital molekul, perhitungan yang mengaitkan energi dari elektron dan fungsi gelombangnya.

Untuk aljabar asosiatif umum

Definisi di atas mengenai polinomial karakteristik dari sebuah matriks A ∈ M n ( K ) {\displaystyle A\in M_{n}(K)} dengan entri-entri dari lapangan K {\displaystyle K} , dapat diperumum tanpa perubahan ke kasus K {\displaystyle K} hanya berupa gelanggang komutatif. (Garibaldi 2004) mendefinisikan polinomial karakteristik untuk entri-entri dari sebarang aljabar dimensi-hingga (asosiatif, namun tidak perlu komutatif) atas sebuah lapangan K {\displaystyle K} dan membuktikan sifat-sifat standar dari polinomial karakteristik dalam keadaan umum ini.

Lihat pula

  • Persamaan karakteristik (disambiguasi)
  • Polinomial minimal (aljabar linear)
  • Invarian tensor
  • Matriks pendamping
  • Algoritme Faddeev–LeVerrier
  • Teorema Cayley–Hamilton
  • Algoritme Samuelson–Berkowitz

Referensi

  • T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) Basic Linear Algebra, hlm. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5.
  • John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, hlm. 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8.
  • Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276 alt=Dapat diakses gratis, doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048 
  • Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8.
  • Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, hlm. 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1.
  • Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, hlm. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3.
  1. ^ Guillemin, Ernst (1953). Introductory Circuit Theory. Wiley. hlm. 366, 541. ISBN 0471330663. Ringkasan. 
  2. ^ Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (January 1952). "An Extension of Gauss' Transformation for Improving the Condition of Systems of Linear Equations" (PDF). American Mathematical Society – Mathematics of Computation. 6 (37): 18–34. doi:10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0. Diakses tanggal 3 October 2020. 
  3. ^ Frank, Evelyn (1946). "On the zeros of polynomials with complex coefficients". Bulletin of the American Mathematical Society. 52 (2): 144–157. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 alt=Dapat diakses gratis. Diakses tanggal 3 October 2020. Ringkasan. 
  4. ^ "Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld". Diakses tanggal August 26, 2011. 
  5. ^ Steven Roman (1992). Advanced linear algebra (edisi ke-2). Springer. hlm. 137. ISBN 3540978372. 
  6. ^ Dalil 28 dalam catatan kuliah ini.[pranala nonaktif permanen]
  7. ^ Teorema 4 dalam catatan kuliah ini.
  8. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. pp. 108–109, Section 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6. 
  9. ^ Lang, Serge (1993). Algebra. New York: Springer. p.567, Theorem 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC 852792828. 
  10. ^ "secular equation". Diakses tanggal January 21, 2010.