Viriáltétel

A mechanikában a viriáltétel általános összefüggést ad valamely, helyzeti erők által határolt, N részecskét tartalmazó stabil rendszer időbeli átlagos teljes kinetikus energiája (${\displaystyle \left\langle T\right\rangle }$) és időbeli átlagos teljes helyzeti energiája (${\displaystyle \left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle }$) között (a szögletes zárójelek a zárójelben lévő mennyiség időbeli átlagát jelölik). Matematikailag az elmélet állítása:

${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle }$

ahol F_k a k-ik részecskére ható erő, mely az r_k pozícióban van.

A ’viriál’ szó a latin 'vis'-ből származik, mely erőt, vagy energiát jelent. A definíciót Rudolf Clausius német fizikus adta meg 1870-ben.^[1] A viriáltétel jelentősége az, hogy lehetővé teszi az átlagos kinetikus energia kiszámítását, még komplikált rendszerek esetén is, amikor a statisztikai mechanika módszereivel ez nem oldható meg. Ez az átlagos, és teljes kinetikus energia az ekvipartíció-tételhez hasonlóan kapcsolódik a rendszer hőkapacitásához. A viriáltétel akkor is érvényes, ha egy rendszer nincs termikus egyensúlyi állapotban. A viriáltételt sokféleképpen szokták általánosítani, a legjobban ismert eljárás, a tenzoros forma. Ha egy rendszerben két részecske között ható erő a potenciális energiából V(r) = αr ⁿ származik, akkor ez arányos a részecskék közötti átlagos távolsággal r, és felírhatjuk az elmélet egyszerűbb formuláját:

${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$

Vagyis a teljes átlagos kinetikus energia ${\displaystyle \left\langle T\right\rangle }$ kétszerese egyenlő az átlagos teljes helyzeti energia n-szeresével ${\displaystyle \left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle }$. A V(r), két részecske közötti helyzeti energia, V_TOT a rendszer teljes helyzeti energiája, azaz, a V(r), helyzeti energiák szummája, az összes részecskepárra vonatkozik. Egy példa az ilyen rendszerekre a csillag, melyet saját gravitációja tart össze, ahol n egyenlő −1.

Definíciók

N számú részecske esetén az I a tehetetlenség skalár momentuma (lendülete):

${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}|\mathbf {r} _{k}|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}}$

ahol m_k és r_k jelölik a k-ik részecske tömegét és pozícióját. . r_k=|r_k| a vektor pozíció vektor nagyságrendje. A skalár viriális G:

${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$

ahol p_k a k –ik részecske momentum vektora. Feltételezve, hogy a tömegek állandóak, a viriális G, fele a tehetetlenségi momentum idő szerinti deriváltja

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.}$

fordítva:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\,,\end{aligned}}}$

ahol m_k a k-ik részecske tömege, ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}}$ a tiszta erő, mely a részecskére hat, és T a rendszer teljes kinetikus energiája: ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$

Általánosítás

1903-ban Lord Rayleigh publikált egy általánosítást a viriáltételre.^[2] Henri Poincaré a kozmológia stabilitással kapcsolatban használta a viriáltétel egy képletét.^[3] Ledoux, 1945-ben fejlesztett ki egy változatot az elméletre.^[4] Egy tenzoros formulát fejlesztett Parker.^[5] Chandrasekhar^[6] és Fermi.^[7] Pollard 1964-ben publikálta a viriális elmélet általánosítását az inverz négyzetes törvény esetére :^[8][9] ${\displaystyle 2\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle U\rangle _{\tau }}$ igaz, és csak akkor igaz, ha ${\displaystyle \lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0.}$ .^[10]

Az elektromágneses tér és a viriáltétel

A viriáltétel kiterjeszthető az elektromágneses térre.^[11] Az eredmény:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$

ahol I a tehetetlenségi momentum, a G az elektromágneses tér momentum sűrűsége, T a folyadék kinetikus energiája, U a részecskék véletlenszerű termikus energiája, W^E és W^M az elektromos – és elektromágneses energiák. p_ik a folyadék-nyomás tenzor, a lokális mozgó koordináta-rendszerben kifejezve.

${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$

és T_ik az elektromágneses nyomás tenzor,

${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$

A plazmoid, a mágneses tér és a plazma végső konfigurációja. A viriáltétel alapján könnyen belátható, hogy ilyen konfiguráció létrejöhet, ha nem éri külső erőhatás. Nyomás nélkül a felületi integrál eltűnik az ilyen végső konfigurációnál.. Mivel az összes jobb oldali kifejezés pozitív, a tehetetlenségi momentum gyorsulása szintén pozitív lesz. A kiterjedési időt is egyszerű megjósolni τ. Ha a teljes tömeget, M egy R átmérő korlátozza, akkor a tehetetlenségi momentum nagyjából MR², és a bal oldal MR²/τ². A jobb oldali kifejezések összeadódnak közel pR³-é, ahol p a nagyobb plazma nyomás vagy mágneses nyomás. E kettő kifejezést egyenlővé téve, és megoldva τ-re, kapjuk:

${\displaystyle \tau \,\sim R/c_{s},}$

ahol c_s az ion-akusztikus hullám (vagy Alfvén-hullám, ha a mágneses nyomás magasabb,mint a plazma nyomás) sebessége. Így a plazmoid várható élettartama az akusztikus vagy Alfvén-hullám átmeneti ideje lesz.

Asztrofizika

A viriáltételt gyakran alkalmazzák az asztrofizikában, különösen a gravitációs helyzeti energia, és a kinetikus-, vagy termikus energia összefüggésében. Egy általános viriális összefüggés: ${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{B}T}{m_{p}}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$, ahol ${\displaystyle M}$, a tömeg, ${\displaystyle R}$,az átmérő ${\displaystyle v}$, a sebesség, és ${\displaystyle T}$, a hőmérséklet A konstansok: Gravitációs állandó: ${\displaystyle G}$, Boltzmann-állandó: ${\displaystyle k_{B}}$, Proton tömege: ${\displaystyle m_{p}}$.

Galaxisok és kozmológia

Az asztronómiában, a galaxisok méretét és tömegét gyakran a „viriális átmérő”, és a „viriális tömeg” kifejezéseivel határozzák meg. A galaxisok méreteit igen nehéz meghatározni. A viriáltétel gyakran kényelmes módszert ad ezen mennyiségek maghatározására. A galaxisok dinamikájába, a tömeg meghatározása gyakran a gázok és csillagok forgási sebességével történik, feltételezve a kepleri pályákat. A viriáltételt alkalmazva felhasználható a sebesség diszperzió, ${\displaystyle \sigma }$. Ha vesszük a részecskénti kinetikus energiát, T = (1/2) v² ~ (3/2) M ${\displaystyle \sigma }$², és a potenciális energiát: U ~ (3/5)(GM/R), irhatjuk: ${\displaystyle {\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}}$. Itt az ${\displaystyle R}$ az átmérő, ${\displaystyle M}$ , az átmérőn belüli tömeg. A viriális tömeget, és átmérőt általában arra az átmérőre határozzák meg, ahol a sebesség diszperzió maximum: ${\displaystyle {\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\text{max}}^{2}}$. Ezek az összefüggések nagyságrendi információt adnak. Egy alternatív meghatározás: Mivel az átmérőt igen nehéz megfigyelni, gyakran közelítik úgy, hogy a sűrűség nagyobb egy specifikus tényezővel, mint a kritikus sűrűség, ${\displaystyle \rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$, ahol a ${\displaystyle H}$ a Hubble-paraméter, és a ${\displaystyle G}$ a gravitációs állandó. Egy általánosan használt tényező a 200. Így a viriális tömeg az átmérőhöz képest: ${\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}=(4/3)\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}}$.

Irodalom

• Collins, G. W: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. (hely nélkül): Pachart Press. 1978.  

További információk

• http://www.mathpages.com/home/kmath572/kmath572.htm
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/gravc.html#c2

Kapcsolódó szócikkek

• Plazma
• Plazmoid
• Hubble-paraméter
• Alfvén-hullám
• Hőkapacitás

Jegyzetek

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Virial theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.