Valós analízis

A valós analízis a matematika azon ága, amely a valós függvények analízisével foglalkozik. Ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja, mint például a konvergencia, határérték, folytonosság és egyéb tulajdonságok.

Területei

A valós számok konstrukciója

Bővebben: Valós számok

A valós számokat többféleképpen is definiálhatjuk mint rendezett testet. A "mesterséges" módszer az axiómák megadása. Ugyanakkor bizonyos konstrukciók a racionális számok tulajdonságain alapulnak.

Sorozatok

Bővebben: Sorozat (matematika)

A sorozatokat úgy definiálhatjuk, mint függvényeket, amelyek alaphalmaza egy megszámlálható és teljesen rendezett halmaz, például a természetes számok halmaza. A valós analízisben a sorozat olyan függvény, amely alaphalmaza a természetes számok egy részhalmaza, a képhalmaza pedig a valós számok.^[1]

Határérték

Bővebben: Határérték

Egy függvény vagy sorozat határértéke egy olyan érték, amelyet a függvény vagy sorozat "tetszőlegesen megközelít", ahogy a függvény argumentuma megfelelő mértékben megközelít egy megadott értéket.^[2] Ha az ${\displaystyle a_{n}}$ végtelen sorozat konvergens és ${\displaystyle A}$-hoz tart, a következő jelölést alkalmazzuk: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$. ^[3]
A függvények határértéke egy adott pontban is értelmezhető, melynek jelölése az ${\displaystyle f(x)}$ függvény ${\displaystyle x_{0}}$ pontjában ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=A}$, ahol ${\displaystyle A}$ a függvény ${\displaystyle x_{0}}$-ban vett határértéke. Beszélhetünk egyoldali határértékről is: egy függvény egy adott pontjában jobb oldali határértékkel rendelkezik, ha az adott ${\displaystyle x_{0}}$ ponthoz jobbról (${\displaystyle x_{0}<x_{n}}$) közelítve ${\displaystyle f(x)\rightarrow A}$. Hasonló módon értelmezhető a bal oldali határérték is. ^[4]

Végtelen sorok és hatványsorok

Az ${\displaystyle a_{k}}$ végtelen valós sorozat részletösszegeiből képzett sorozat a ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...}$ végtelen sor. ^[5] Egy végtelen sor konvergens, és az összege az ${\displaystyle S}$ valós szám, ha az ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ${\displaystyle n}$-edik részletösszegből képzett valós sorozat konvergens és határértéke ${\displaystyle S}$. ^[6] A végtelen sorok konvergenciájának vizsgálatához használt eszközök például a d'Alembert-féle hányadoskritérium ^[7] és a gyökkritérium ^[8] . Geometriai sorok esetén pedig ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }r^{k}={\frac {1}{1-r}}}$, ha ${\displaystyle r<1}$. ^[9] Felmerül tehát a kérdés, hogy egy adott ${\displaystyle f}$ függvény felírható-e végtelen sorként.
Amennyiben egy ${\displaystyle f}$ függvény megadható az ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}x^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}}$ alakban, ahol ${\displaystyle x_{0}}$ a hatványsor középpontja, az ${\displaystyle f}$ hatványsorba fejthető. ^[10] A hatványsorok középpontja körüli konvergenciasugár meghatározásához a Cauchy–Hadamard-tétel használható. ^[11] Egy arra alkalmas ${\displaystyle f}$ függvény hatványsorba fejtésének egy módja annak Taylor-sorrá alakítása. ^[12]

Folytonosság

Bővebben: Folytonos függvény

Intuitív módon fogalmazva egy valós függvény folytonos, ha a függvény egy Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázolva egyetlen összefüggő vonallal ábrázolható. Pontosabban: egy ${\displaystyle f}$ függvény folytonos az értelmezési tartományának elemét képező ${\displaystyle x_{0}}$ pontban, ha ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$. Ha az ${\displaystyle f}$ értelmezési tartományának egy pontjában ez a feltétel nem valósul meg, azt mondjuk, hogy ott a függvénynek szakadása van. Egy függvény csak akkor folytonos, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. ^[13]
A valós analízis egyik legfontosabb tétele a Bolzano-tétel, amely kimondja, hogy egy intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye. ^[14] Egy másik igen fontos tétel a Weierstrass-tétel, amely szerint ha az ${\displaystyle f}$ függvény folytonos az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon, akkor az ${\displaystyle f}$ ezen az intervallumon felveszi a minimumát és maximumát. ^[15]

Differenciálás

Bővebben: Derivált

Egy ${\displaystyle f}$ függvény deriváltja az ${\displaystyle x_{0}}$ pontban a következő határérték:

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}$

Ha a derivált mindenhol létezik, akkor a függvény differenciálható. A magasabb deriváltak a deriváltak deriváltjaiként értelmezhetőek. ^[16] Mivel az ${\displaystyle f'(x_{0})}$ derivált az ${\displaystyle f}$ függvényhez az ${\displaystyle x_{0}}$ pontban húzott érintő meredeksége, segítségével meghatározható a függvény egy adott pontjában vett érintőjének egyenlete. ^[17] Az első derivált továbbá például a függvény lokális szélsőértékeinek és értékkészletének meghatározásához is használható. A második derivált segítségével pedig a függvény konvex és konkáv részei és inflexiós pontjai is meghatározhatóak. A derivált a L’Hôpital-szabály felhasználásával bizonyos esetekben a határértékszámításkor is alkalmazható. ^[18]
A függvényeket csoportosíthatjuk a differenciálhatóságuk alapján. Legyen ${\displaystyle C^{0}}$ az összes folytonos függvény osztálya, ${\displaystyle C^{1}}$ pedig az összes olyan differenciálható függvény osztálya, amelyek deriváltjai folytonosak. Vagyis a ${\displaystyle C^{1}}$-beli függvények pontosan azok a függvények, amelyek differenciálhatóak, és a deriváltjuk eleme ${\displaystyle C^{0}}$-nak. Általánosítva, legyen ${\displaystyle C^{k}}$ rekurzió segítségével definiálva a következőképpen: ${\displaystyle C^{k}}$ valamely pozitív egész ${\displaystyle k}$-ra azon differenciálható függvények osztálya, amelyeknek deriváltja eleme ${\displaystyle C^{1}}$-nek. Minden ${\displaystyle C^{k}}$ részhalmaza ${\displaystyle C^{k-1}}$-nek. ${\displaystyle C^{\infty }}$ jelöli az összes ${\displaystyle C^{k}}$ osztály metszetét. ${\displaystyle C^{\omega }}$ részhalmaza ${\displaystyle C^{\infty }}$-nek.

A deriválás és a teljes függvényvizsgálat

Bővebben: Szélsőérték, Konvex és konkáv függvény és Inflexiós pont

Egy függvény első deriváltjának segítségével meghatározhatjuk a függvény monotonitását és szélsőértékeit. Ha az ${\displaystyle f}$ folytonos és differenciálható az ${\displaystyle [a,b]}$ zárt intervallumon, és minden belső pontjában ${\displaystyle f'(x)>0}$, akkor az ${\displaystyle f}$ az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon szigorúan monoton nő. Ugyanígy, ha ${\displaystyle f}$ folytonos és differenciálható az ${\displaystyle [a,b]}$ zárt intervallumon, és minden belső pontjában ${\displaystyle f'(x)<0}$, akkor az ${\displaystyle f}$ az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon szigorúan monoton csökken. Azokban a pontokban, ahol az imént meghatározott függvényeknél ${\displaystyle f'(x)=0}$, előfordulhat, hogy lokális szélsőértéket találunk. Azokban a pontokban, ahol az ${\displaystyle f}$ szigorúan monoton növőből szigorúan monoton csökkenővé válik, lokális maximumról, azokban pedig, ahol szigorúan monoton csökkenőből szigorúan monoton növővé válik, lokális minimumról beszélhetünk. ^[19] A másodrendű feltétel alapján ha az ${\displaystyle f}$ legalább kétszer differenciálható függvényre teljesül, hogy egy ${\displaystyle x_{0}}$ pontjában ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ és ${\displaystyle f''(x_{0})>0}$, akkor a függvénynek az adott ${\displaystyle x_{0}}$ pontban lokális minimuma van. A lokális maximum hasonlóan értelmezhező, de akkor ${\displaystyle f''(x)<0}$. ^[20]
A második derivált segítségével meghatározható, hogy a függvény mely intervallumokban konvex és konkáv, továbbá hogy hol találhatóak az inflexiós pontjai. Ha az ${\displaystyle f}$ folytonos és kétszer differenciálható egy intervallumon belül, továbbá az intervallum minden belső pontjában ${\displaystyle f''(x)\geq 0}$, akkor az ${\displaystyle f}$ konvex az adott az intervallumon. Amennyiben ugyanezen alapfeltételek mellett az ${\displaystyle f''(x)\leq 0}$ teljesül, az ${\displaystyle f}$ konkáv az adott intervallumon. Azokban a pontokban, ahol ${\displaystyle f''(x)=0}$ és a függvény konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe fordul, a függvénynek inflexiós pontja van. ^[21]

Integrálás

Bővebben: Integrálás

Riemann-integrálás

Bővebben: Riemann-integrálás

A Riemann-integrált a Riemann-összegek segítségével definiáljuk. Legyen ${\displaystyle [a,b]}$ a valós számok egy zárt intervalluma. Ekkor ezen intervallum megcímkézett particionálása egy véges sorozat,

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Ez a partíció osztja ${\displaystyle n}$ részintervallumra, ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$-ra az eredeti ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumot. Egy ${\displaystyle f}$ függvény Riemann-összege egy adott címkézett partíción: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}.}$

Vagyis azon téglalapok területeinek összege, amelyek alapjai a particionálás által létrehozott részintervallumok és magasságuk a függvény részintervallumokhoz tartozó kijelölt ${\displaystyle t_{i}}$ pontokban vett értékei: ${\displaystyle f(t_{i})}$. ${\displaystyle \Delta _{i}}$ pedig az ${\displaystyle i}$-edik részintervallum hossza: ${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$. Egy ${\displaystyle f}$ függvény Riemann-integrájla az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon ${\displaystyle S}$, ha bármely ${\displaystyle \epsilon >0}$-hoz létezik egy ${\displaystyle \delta >0}$, úgy, hogy ${\displaystyle [a,b]}$ bármely címkézett partíciója, amelynek finomsága (vagyis a legnagyobb részintervallum mérete) ${\displaystyle \delta }$ vagy annál kisebb, akkor:

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

Ha a partíció címkéi a függvény adott intervallumon való maximum (vagy minimum) értékének helyei, akkor az ehhez a partícióhoz tartozó Riemann-összeg a felső (és alsó) Darboux-összeg, amely rámutat a Riemann-integrál és a Darboux-integrál szoros kapcsolatára. ^{[22] [23]}

Lebesgue-integrálás

Bővebben: Lebesgue-integrál

A Lebesgue-integrálás a Riemann-integrálás kiterjesztése a nem Riemann-integrálható függvényekre, illetve kiterjeszti azt a halmazt is, amelyeken az integrálható függvények definiálhatóak.

Határozatlan integrálás

Bővebben: Határozatlan integrál

A határozatlan integrálás a deriválás fordított művele. Általános jelöléseket használva az ${\displaystyle F}$ függvény az egy adott intervallumon értelmezett ${\displaystyle f}$ függvény határozatlan integrálja (más néven primitív függvénye), ha ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ az ${\displaystyle f}$ teljes értelmezési tartományában. Mivel egy hozzáadott konstans deriváltja mindig nulla, a határozatlan integrálokhoz mindig hozzá kell adnunk egy ${\displaystyle C}$ valós számot. ^[24] A határozatlan integrál jelölése:

${\displaystyle \int f(x)=F(x)+C.}$

A Newton-Leibniz-formula

Bővebben: Newton–Leibniz-tétel

Az analízis alaptétele alapján a folytonos ${\displaystyle f}$ függvény határozott integrálja kiszámíható a függvény ${\displaystyle F}$ primitív függvényének ismeretében

^[25]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Fontos tételek

Az analízis fontos tételei például a Bolzano-Weierstrass és a Heine-Borel tétel; a Bolzano-tétel a középértéktételek, és az analízis alaptétele (Newton-Leibniz-tétel).

A valós analízis számos fogalma általánosítható a valós térről általánosabb metrikus terekre vagy éppen mérték-terekre, Banach terekre, és Hilbert terekre.

Fordítás

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Real analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

1. ↑ Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence, Introduction to Analysis. AMS (2009) 
2. ↑ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
3. ↑ Stover, Christopher: Határérték (angol nyelven). Wolfram MathWorld
4. ↑ Dawkins, Paul: The Definition Of The Limit. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
5. ↑ Infinite series. Encyclopaedia Britannica. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
6. ↑ Weisstein, Eric W: Sorok (angol nyelven). Wolfram MathWorld
7. ↑ Kudryavtsev, L. D.: D'Alembert criterion (convergence of series). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
8. ↑ Weisstein, Eric W: Gyökkritérium (angol nyelven). Wolfram MathWorld
9. ↑ Ivanova, O. A.: Geometric progression. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
10. ↑ Bornemann, Folkmar; Weisstein, Eric W: Hatványsorok (angol nyelven). Wolfram MathWorld
11. ↑ Grinshpan, Anatolii: Cauchy-Hadamard formula. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
12. ↑ Kudryavtsev, L. D.: Taylor series. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
13. ↑ Weisstein, Eric W: Folytonos függvény (angol nyelven). Wolfram MathWorld
14. ↑ Weisstein, Eric W: Bolzano-tétel (angol nyelven). Wolfram MathWorld
15. ↑ Solomentsev, E. D.: Weierstrass theorem. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
16. ↑ Weisstein, Eric W: Derivált (angol nyelven). Wolfram MathWorld
17. ↑ Dawkins, Paul: Interpretation Of The Derivative. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
18. ↑ Kouba, D. A.: The Plausibility of L'Hopital's Rule, The 0/0 Case. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
19. ↑ Dawkins, Paul: Minimum And Maximum Values. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
20. ↑ Tallos, Péter: Másodrendű feltételek. Matematika előadások pp. 44-45. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
21. ↑ Dawkins, Paul: The Shape of a Graph, Part II. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
22. ↑ Weisstein, Eric W: Riemann-integrál (angol nyelven). Wolfram MathWorld
23. ↑ Karátson, János: II. Határozott integrál (Riemann-integrál).. Az előadás anyagának törzsrésze pp. 3-4. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
24. ↑ Stover, Christopher; Weisstein, Eric W: Integrál (angol nyelven). Wolfram MathWorld
25. ↑ Kudryavtsev, L. D.: Newton-Leibniz formula. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)