Törésmutató

Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége egy anyagi közegben kisebb, mint a vákuumban. Ennek a mértéke a törésmutató, ami a következő összefüggés szerint adható meg:

${\displaystyle n={\frac {c_{0}}{c}}}$,

ahol n a közeg törésmutatója, pontosabban fázistörésmutatója, c₀ a fény vákuumbeli, c pedig a közegbeli terjedési sebessége.^[1]

A relatív törésmutató

Fenti definíció az abszolút törésmutatót adja meg, hiszen a fény közegbeli terjedési sebességének és a vákuumbelinek a viszonyát fejezi ki. A relatív törésmutató az adott anyagban való terjedést egy másik közegbeli terjedéshez viszonyítja a következő módon:

${\displaystyle n_{2;1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}}$

ahol ${\displaystyle n_{2;1}}$ a második közeg első közegre vonatkozó relatív törésmutatója. Fentiekből az is következik, hogy a két közeg abszolút törésmutatója és relatív törésmutatója között a következő a kapcsolat:

${\displaystyle n_{2;1}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$

A törésmutatót a gyakorlatban többnyire a látható fény számára meglehetősen átlátszó anyagok tulajdonságának leírására használják és a levegőhöz viszonyítva adják meg. Mivel a levegő abszolút törésmutatója 1,00029, azaz elég jó közelítéssel 1, a víz 1,33-as törésmutatója például azt jelenti, hogy a fény 1,33-szor gyorsabban terjed a levegőben (vagy vákuumban), mint a vízben.

A törésmutató mérése

A mérési eljárások átlátszó anyagok esetén leggyakrabban a teljes visszaverődés jelenségét használják ki. Az optikailag sűrűbb közegből ritkább felé haladó, a határszögnél nagyobb szögben érkező fénysugarak nem jutnak ki, a két közeg határfelületén visszaverődnek. A határszög szinuszára a fénytörés törvényéből következően az alábbi összefüggés érvényes:

${\displaystyle \sin \alpha _{h}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$, ahol ${\displaystyle {n_{2}}<{n_{1}}}$.

Ha például a fénysugár vízből a víz-levegő határfelületre érkezik, akkor ${\displaystyle {n_{1}}=1,33}$. ${\displaystyle {n_{2}}=1}$. és így ${\displaystyle \sin \alpha _{h}={\frac {1}{1,33}}}$, ahonnan ${\displaystyle \alpha _{h}=48,6}$°.

A határszög mérésével a törésmutató meghatározható.

Egy folyékony közegben, oldatban a törésmutató az összetétellel változik, így a törésmutató mérésével megadhatjuk az oldott anyag koncentrációját, illetve a koncentrációval kapcsolatban lévő más fizikai paramétert. Például kézi refraktomérrel a törésmutató mérésén keresztül mérik az autókban lévő hűtőfolyadék – etilénglikol-víz keverék – fagyáspontját.

Törésmutató adatok

Néhány anyag ${\displaystyle \lambda }$ = 589 nm-en mért relatív törésmutatója (pontosabb és részletesebb adatok referenciaként is^[2][3])

anyag	n
vákuum	1
Gázok 0 °C-on és légköri nyomáson
levegő	1,000293
hélium	1,000036
hidrogén	1,000132
szén-dioxid	1,00045
folyadékok 20 °C-on
víz	1,333
etanol	1,36
olívaolaj	1,47
szilárd anyagok
jég	1,309
műanyagok	1,45-1,65
üvegek	1,45-1,7
gyémánt	2,42

Fázistörésmutató kapcsolata más anyagi paraméterekkel

Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége egy adott közegben kapcsolatban van az anyag elektromos és mágneses tulajdonságaival, amit a következő összefüggés is kifejez:^[4]

${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}}$

ahol ε_r az anyag relatív permittivitása, és μ_r a relatív permeabilitása. A nemmágneses anyagoknál μ_r közel 1, ebben az esetben ${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$.

A diszperzió jelensége miatt a fény terjedési sebessége, így a törésmutató értéke is egy adott anyag esetében általában kissé változik a hullámhossz függvényében. Néha azzal arányosan, máskor pedig azzal fordított arányban. Így, ezen anyagok megfelelő kombinációjával gyakorlatilag kiküszöbölhető a nem csak egyszínű lézerfénnyel dolgozó optikai rendszerek egyik általános hibája, a kromatikus aberráció.

Hullámcsomag törésmutatója a csoporttörésmutató

A fázistörésmutató fenti definíciója az egyszínű, monokromatikus hullámokra érvényes, a monokromatikus hullámok azonban csak idealizált modellek. A fényhullámok valójában monokromatikus hullámok szuperpozíciójából állnak elő hullámcsomag formájában:^[5]

Egy z irányban terjedő hullámcsomagot a következő

${\displaystyle E(z,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }E(\omega )e^{-i(\omega t-k(\omega )z)}}$

formában tárgyalhatunk, ahol

${\displaystyle k(\omega )={\frac {n(\omega )\omega }{c}}}$

az ${\displaystyle \omega }$ körfrekvenciájú hullámkomponens hullámszáma, c pedig a vákuumbeli fény sebessége.

Egy hullámcsomag terjedését ezen a fázissebességen kívül a csoportsebessége jellemzi

${\displaystyle v_{cs}={\frac {1}{\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \omega }}}={\frac {c}{\omega {\frac {\mathrm {d} n(\omega )}{\mathrm {d} \omega }}+n(\omega )}}}$, amiből

${\displaystyle N_{cs}={\frac {c}{v_{cs}}}=n(\omega )+\omega {\frac {\mathrm {d} n(\omega )}{\mathrm {d} \omega }}}$

hullámhosszra átírva:

${\displaystyle N_{cs}=n(\lambda )-\lambda {\frac {\mathrm {d} n(\lambda )}{\mathrm {d} \lambda }}}$, ami az úgynevezett csoporttörésmutató.

Kettősen törő kristályok törésmutatója

Kettősen törő kristályokban az aszimmetrikus belső szerkezet miatt a fény terjedési sebessége a különböző kristálytengelyek irányában különbözik. Így az adott irányokhoz más-más törésmutató rendelhető. A kristályba belépő fény két külön nyalábra bomlik, egyik az ordinárius, a másik az extraordinárius sugár. Az elnevezés arra utal, hogy az egyik követi a fénytörés törvényét, a másik nem. A ${\displaystyle \epsilon }$ permittivitás sem skalármennyiség, hanem egy tenzor. A fény kristályon való áthaladását – a kettőstörést – az ${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}+1\right)}$ tenzor szabja meg, ahol ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ a lineáris szuszceptibilitás tenzor. Veszteségmentes esetben ${\displaystyle \epsilon }$ tenzor szimmetrikus (megfelelő koordináta-rendszerben diagonális). Amennyiben mindhárom diagonális elem különbözik, kéttengelyű, amennyiben kettő megegyezik, egytengelyű kettősen törő kristályról beszélünk. Ha mindhárom elem megegyezik, a kristály izotróp.

A dielektromos tengelyrendszerben felírt (itt diagonális ${\displaystyle \epsilon }$) Maxwell-egyenletekbe helyettesítve a ${\displaystyle {\vec {k}}=\left({\vec {k}}_{x},{\vec {k}}_{y},{\vec {k}}_{z}\right)^{T}}$ hullámszámvektorral jellemzett síkhullámot, valamint felhasználva, hogy ${\displaystyle n_{j}^{2}=\epsilon _{j}/\epsilon _{0}}$, az

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {k_{j}^{2}}{k^{2}(n^{2}-n_{j}^{2})}}}$

Fresnel-egyenlethez jutunk. Ezen egyenletnek minden terjedési irányra két egymásra merőleges polarizációjú megoldása van ${\displaystyle n}$-re, így ${\displaystyle {\vec {k}}}$-ra is.

Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy az ordinárius és az extraordinárius nyaláb polarizációja egymásra merőleges. A kettősen törő kristályok felhasználhatók lineárisan polarizált fény előállítására.

Komplex törésmutató

Abszorbeáló közegek optikai tulajdonságainak jellemzésére a komplex törésmutatót használják. Definíciója a komplex permittivitás definíciójának mintájára:

${\displaystyle {\widehat {n}}=n-i\kappa .}$

ahol n és ${\displaystyle \kappa }$ a valós és képzetes részt jelölik, i pedig az imaginárius egység, i ² = −1.

A valós rész – a már fentebb megismert – a fény közegbeli terjedési sebességével kapcsolatos törésmutató. ${\displaystyle \kappa }$ pedig az abszorpciómutató, egy dimenzió nélküli mennyiség. Az elnyelődés mértékét szokásos még az ${\displaystyle \alpha }$ -val jelölt abszorpciós együtthatóval is jellemezni:

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\omega \kappa }{c}}={\frac {4\pi f\kappa }{c}}={\frac {4\pi \kappa }{\lambda }}}$

ahol ${\displaystyle \omega }$ a körfrekvencia, f a frekvencia, ${\displaystyle \lambda }$ a hullámhossz. Az abszorpciós együtthatót legtöbbször 1/cm mértékegységben adják meg.

A komplex törésmutató és a komplex permittivitás nemmágneses anyagoknál ugyanolyan kapcsolatban vannak egymással, mint a valós részeik, azaz:

${\displaystyle {\widehat {n}}={\sqrt {\widehat {\epsilon }}}}$.

Egy anyag elektromos térrel szembeni viselkedését a komplex permittivitása befolyásolja, mivel a fény elektromágnes hullám, így érthető, hogy a közegbeli terjedését, elnyelődését leíró optikai paraméterek mind-mind kapcsolatban vannak egymással. Megmutatható, hogy a komplex permittivitás valós illetve képzetes része és a törésmutató illetve és az abszorpciómutató között a következő összefüggések adhatók meg:

${\displaystyle \varepsilon '(\omega )=n^{2}-\kappa ^{2}}$

${\displaystyle \varepsilon ''(\omega )=2n\kappa }$.

Kapcsolódó szócikkek

• Abszorpció (fizika)

Jegyzetek