Tízes számrendszer

Számjelölő rendszerek

Arab · Babiloni · Csuvas · Egyiptomi · Görög · Inka · Maja · Római ·
Székely-magyar rovás
továbbiak…

Számábrázolási rendszerek

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 12 · 14 · 16 · 20 · 60

Vegyes alapú számrendszer

Faktoriális

Sablon:Számjelölő rendszerek
  • m
  • v
  • sz

A tízes számrendszer vagy decimális számrendszer a számok ábrázolásának legelterjedtebb módja. Helyiértékes számrendszer, számjegyei a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, helyiértékei a tíz hatványai. A nem egész számok tizedestört formájában ábrázolhatóak benne. Az arab számírásos számrendszerek közül szinte az egész világon ezt használják.

Leírása

Tízes számrendszerbeli ábrázolásban az egyes számjegyek azt jelölik, hogy a tíz különböző hatványi milyen 0 és 9 közötti együtthatókkal megszorozva adják összegül a számot. Így tehát az x n x n − 1 … x 2 x 1 x 0 ¯ {\displaystyle {\overline {x_{n}x_{n-1}\ldots x_{2}x_{1}x_{0}}}} ábrázolás az ∑ k = 0 n x i 10 i {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}x_{i}10^{i}} számot jelöli. Az n szám tízes számrendszerbeli alakjában az i-edik helyiértéken ( n / 10 i ) mod 10 {\displaystyle (n/10^{i})\mod 10} fog állni (a perjel maradékos osztást jelöl).

Oszthatósági szabályok

A tíz osztói a kettő és az öt, így ezek hatványaira adható a legegyszerűbb oszthatósági szabály: 2 n {\displaystyle 2^{n}} illetve 5 n {\displaystyle 5^{n}} akkor oszt egy számot, ha az utolsó n jegyéből képzett számot osztja. Speciálisan, a páros számok utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8, az öttel oszthatóké pedig 0 vagy 5.

A három osztója 10-1-nek, így rá is egyszerű oszthatósági szabály adható: egy szám pontosan akkor osztható hárommal, ha a számjegyeinek összege osztható vele. Ugyanez a kilenccel való oszthatóságra is vonatkozó szabály.

Tizedes törtek

A racionális és valós számokat tizedes törtként fejezhetjük ki: az összegben a tíz negatív kitevőjű hatványait is felhasználjuk. Hasonlóan más helyiértékes számrendszerekhez, minden számnak van egy végtelen tizedestört felírása, és azoknak a racionális számoknak, amiknek a nevezőjében egyszerűsítés után csak kettővel és öttel osztható szám szerepel, van egy véges tizedestört felírásuk is.

Eredete

A tíz kezdettől fogva kiemelt jelentőségű volt a legtöbb számrendszerben, alighanem azért, mert az embernek tíz ujja van. (Számos nyelvben a számjegy és az ujj vagy ujjperc ma is ugyanaz a szó: ilyen például az angol digit, innen ered a számjegy angol neve és a digitális kifejezés). Jelenlegi tudásunk szerint első előfutára Elámban, a mai Irán területén jelent meg az i. e. 4. évezredben. Kezdetleges tízes számrendszert használtak az i. e. 2. évezredtől Egyiptomban és az indus-völgyi civilizációban, és az i. e. 1. évezredtől Kínában. A helyi értékes elv indiai kialakulására a babiloni 60-as és a kínai 10-es alapú rendszerek lehettek hatással. A baktriai görögök a babiloniaktól csupán a 60-as alapú törteket vették át, önmagában ez az ismeret nem inspirálhatta az indiaiakat egy 10-es alapú helyi értékes rendszer kifejlesztésére. Ezzel szemben Kína már a Han dinasztia idején (kb. i. e. 2. sz. – i. u. 3. sz. között) használta saját számláló rúdjait, melyekkel 10-es alapon, helyi értékes elven, az 1...9 számjegyek alkalmazásával képesek voltak pozitív és negatív számokkal dolgozni. A kínai rendszernek a helyi érték indiai kialakulására még ha lehetett is hatása, a nulla helyi értékes – ezzel együtt a teljes 10 számjegyes rendszer – alkalmazása egyértelműen indiai eredetű (Kínában ugyanis indiai átvétel nyomán, az i. sz. 8. században jelent meg).[1]

A nullát is tartalmazó decimális helyi értékes rendszer legkésőbb az i. sz. 5. században jelent meg Indiában [2]. A rendszer globális továbbterjedése az i. sz. 7. századra már az Indiától távoli, Délkelet-Ázsiai régiók kőfeliratain is nyomon követhető. A világ az indiai forrásokból származó, arab közvetítéssel elterjedt hindu-arab számjegyeket a közvetítők után többnyire arab számokként ismeri. A tizedestörtek az első évezred végén, az araboknál fordulnak elő legkorábban.

A tízes számrendszer a nyelvben

Kevés olyan nyelv van, amely tisztán a tízes számrendszer logikáját követi, azaz a 11-et „tíz-egy” vagy a 23-at „kettő-tíz-három” formában nevezi meg. Ilyen a vietnámi, egyes kínai nyelvek, a japán, a koreai, a thai, és egyes inka nyelvek.

A magyar nyelvben a 10-es számrendszer logikája alól a 10 és 20 között nincs kivétel, a 11-et például úgy fejezzük ki, hogy „(a) tízen egy” = tizenegy. A magyar számoknál sosem fordul elő az indoeurópai nyelvekben tapasztalható jelenség sem, hogy az egyes helyi érték megelőzi a tízest, mint például a németben (dreiundzwanzig „három és húsz”= 23). Egyébként ez a jelenség nem fordul elő az uráli nyelvcsalád egyetlen nyelvében sem.

Egyes pszichológusok szerint a gyerekek annál nehezebben tanulnak meg számolni, minél szabálytalanabb a számok neve az adott nyelven.[3]

A tízes számrendszer szorzótáblája

A tízes számrendszer szorzótáblája
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Jegyzetek

Források

  • ↑ Beth 1999: Azar, Beth (1999). „English words may hinder math skills development”. American Psychology Association Monitor 30 (4).  
  • ↑ M. Hegedüs 2012: Hegedüs, Miklós: Az algebra vívmányai az indiai matematika klasszikus korszakában. Budapest: L'Harmattan. 2012.  
  • ↑ G. Ifrah 2000: Ifrah, Georges: The universal history of numbers from prehistory to the invention of the computer. New York: John Wiley & Sons. 2000.  

További információk

  • Online számrendszer konvertáló

Kapcsolódó szócikkek

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
Nemzetközi katalógusok
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap