Schur-egyenlőtlenség

A Schur-egyenlőtlenség, melyet Issai Schurról neveztek el, azt mondja ki, miszerint minden nemnegatív valós x, y, z-re és pozitív t-re,

x t ( x − y ) ( x − z ) + y t ( y − z ) ( y − x ) + z t ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 {\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0} ,

ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x = y = z vagy kettő egyezik és a harmadik 0. Ha t egy páros pozitív egész, akkor az egyenlőtlenség minden x, y, z valósra teljesül.

Amikor t = 1 {\displaystyle t=1} , a következő közismert egyenlőtlenséget kaphatjuk:

x 3 + y 3 + z 3 + 3 x y z ≥ x y ( x + y ) + x z ( x + z ) + y z ( y + z ) {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)}

Bizonyítás

Mivel az egyenlőtlenség szimmetrikus x, y, z-re, vehetjük úgy, hogy x ≥ y ≥ z {\displaystyle x\geq y\geq z} . Ekkor a

( x − y ) [ x t ( x − z ) − y t ( y − z ) ] + z t ( x − z ) ( y − z ) ≥ 0 {\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0\,}

egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, hiszen minden tagja legalább 0. Ez pedig átrendezhető a Schur-egyenlőtlenségre.

Általánosítás

A Schur-egyenlőtlenség egy általánosítása a következő: Legyenek a, b, c pozitív valós számok. Ha (a,b,c) és (x,y,z) ugyanúgy rendezettek, akkor:

a ( x − y ) ( x − z ) + b ( y − z ) ( y − x ) + c ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0. {\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.}

2007-ben Valentin Vornicu román matematikus megmutatta, miszerint az alábbi, még általánosabb egyenlőtlenség teljesül:

Legyen a , b , c , x , y , z ∈ R {\displaystyle a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} } , ahol a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} , és vagy x ≥ y ≥ z {\displaystyle x\geq y\geq z} vagy z ≥ y ≥ x {\displaystyle z\geq y\geq x} . Legyen k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}} , és legyen f : R → R 0 + {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}} vagy konvex vagy monoton. Ekkor,

f ( x ) ( a − b ) k ( a − c ) k + f ( y ) ( b − a ) k ( b − c ) k + f ( z ) ( c − a ) k ( c − b ) k ≥ 0 . {\displaystyle {f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,}

Ezen egyenlőtlenség azon formája, mely a Schur-egyenlőtlenséget adja: x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = mr.

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Schur's inequality című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.