Pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok az egész oldalhosszúságú derékszögű háromszögek oldalhosszaiból álló számhármasok. A Pitagorasz-tétel értelmében az ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} pozitív egészekből álló hármas pitagoraszi számhármas, ha megoldásai az x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} diofantoszi egyenletnek.

Példák

Bővebben: Pitagoraszi számhármasok listája

A legkisebb számokból álló pitagoraszi számhármas a ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} , hiszen 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} . Ebből azonnal kapható végtelen sok pitagoraszi számhármas, ugyanis bármely d ∈ Z + {\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}} esetén ( 3 d , 4 d , 5 d ) {\displaystyle (3d,4d,5d)} is az.

Pitagoraszi számhármasok előállítása

Meg fogjuk mutatni, hogy az x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} diofantoszi egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

x = 2 d s t , y = d ( s 2 − t 2 ) , z = d ( s 2 + t 2 ) {\displaystyle x=2dst,\quad y=d(s^{2}-t^{2}),\quad z=d(s^{2}+t^{2})}

vagy ebből x és y felcserélésével, ahol d,s,t pozitív egész számok, s>t, s és t különböző paritásúak és relatív prímek.

Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor a fenti példából ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Bizonyítás

Az ilyen alakú hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

( 2 d s t ) 2 + d 2 ( s 2 − t 2 ) 2 = 4 d 2 s 2 t 2 + d 2 ( s 4 − 2 s 2 t 2 + t 4 ) = d 2 s 4 + 2 d 2 s 2 t 2 + d 2 t 4 = d 2 ( s 2 + t 2 ) 2 . {\displaystyle \left(2dst\right)^{2}+d^{2}(s^{2}-t^{2})^{2}=4d^{2}s^{2}t^{2}+d^{2}(s^{4}-2s^{2}t^{2}+t^{4})=d^{2}s^{4}+2d^{2}s^{2}t^{2}+d^{2}t^{4}=d^{2}(s^{2}+t^{2})^{2}.}

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} teljesül. Leosztva a számok d legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. Speciálisan nem lehet x és y egyszerre páros. De nem lehetnek egyszerre páratlanok sem, mert amúgy x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} 2 maradékot adna 4-gyel osztva, ezért nem lehet négyzetszám.

Tehát x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros és y páratlan. Az egyenlet szerint z is páratlan. Ekkor:

x 2 = z 2 − y 2 = ( z + y ) ( z − y ) . {\displaystyle x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z+y)(z-y).}

A jobb oldal mindkét tényezője páros: z + y = 2 a {\displaystyle z+y=2a} , z − y = 2 b {\displaystyle z-y=2b} (a,b pozitív egészek). Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná y = a − b , z = a + b {\displaystyle y=a-b,z=a+b} -t is. Mivel x 2 = 4 a b {\displaystyle x^{2}=4ab} , azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: a = s 2 {\displaystyle a=s^{2}} , b = t 2 {\displaystyle b=t^{2}} (s,t pozitív egészek és relatív prímek). Ezzel meg is van a kívánt előállítás: x 2 = 4 s 2 t 2 {\displaystyle x^{2}=4s^{2}t^{2}} miatt x = 2 s t {\displaystyle x=2st} , y = a − b = s 2 − t 2 {\displaystyle y=a-b=s^{2}-t^{2}} , z = a + b = s 2 + t 2 {\displaystyle z=a+b=s^{2}+t^{2}} . Mivel y pozitív és páratlan, ezért s>t is teljesül, valamint s és t különböző paritású.

Források

  • Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
  • Weisstein, Eric W.: Pitagoraszi számhármas (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Kapcsolódó szócikkek

  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap