Penrose-féle grafikus jelölésrendszer

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A matematikában és fizikában a Penrose-féle diagrammatikus jelölésrendszer (általában kézzel írott) vizuális leírása a multilineáris függvényeknek vagy tenzoroknak, amelyet Roger Penrose javasolt 1971-ben. A jelölésrendszer egy diagramból áll, amelyben sokféle síkidom van összekötve vonalakkal. A jelölésrendszert Predrag Cvitanović alaposan kutatta, aki arra használta, hogy osztályozza a klasszikus Lie-csoportokat. Általánosítva volt a reprezentációs elmélet a spinhálózatok által a fizikában, valamint a mátrix csoportoktól trace diagramokig a lineáris algebrában. A jelölésrendszer sokszor előfordul a modern kvantumelméletben, különösen a mátrix termékállapotokban és kvantum körökben.

Értelmezések

Multilineáris algebra

A multilineáris algebra nyelvezetében minden síkidom egy multilineáris függvénynek felel meg. A vonalak a formákhoz kapcsolva a ki- és bemenetét reprezentálják a függvénynek, valamint az idomok összekapcsolása egyúttal a függvények kompozíciója.

Tenzorok

A tenzoralgebra nyelvezetében, minden tenzor egy bizonyos formával van asszociálva több vonallal, amelyek le- és felfelé mutatnak, az absztrakt felső és alsó indexekkel megfelelően. Az összekötő vonalak a formák között az indexek rövidítésének felelnek meg. Az egyik előnye a jelölésrendszernek, hogy nem kell új betűket kitalálni az új indexeknek. Ez a jelölésrendszer bázisfüggetlen.

Mátrixok

Mindegyik forma egy mátrixot reprezentál, a tenzorszorzást vízszintesen kell végezni, a mátrixszorzást pedig függőlegesen.

Speciális tenzorok reprezentációja

Metrikus tenzor

A metrikus tenzort egy U alakú hurok vagy egy lefelé fordított U alakú hurok képviseli, a használt tenzor típusától függően.

{\displaystyle g^{ab}} — metrikus tenzor $g^{ab}$

Levi-Civita-tenzor

A Levi-Civita antiszimmetrikus tenzor egy vastag vízszintes vonalnak felel meg, amelyben ágak állnak lefelé vagy felfelé, attól függően, hogy milyen típusú tenzorral dolgozunk.

{\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}} — $\varepsilon _{ab\ldots n}$

{\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}} — $\varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}$ $=n!$

A szerkezetállandó

{\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }} — szerkezet állandó ${\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }$

A Lie-algebra szerkezetkonstansai ( ${\gamma _{ab}}^{c}$ ) egy kicsi háromszög által vannak reprezentálva, amelyből egy vonal mutat felfelé, kettő pedig lefelé.

Tenzorműveletek

Az indexek rövidítése

Az indexek rövidülése úgy van ábrázolva, hogy az indexek vonalait összekötjük.

{\displaystyle \delta _{b}^{a}} — Kronecker-delta $\delta _{b}^{a}$

{\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}} — Pont termék $\beta _{a}\,\xi ^{a}$

{\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}} — $g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$

Szimmetrizáció

Az indexek szimmetrizációját egy vastag cikkcakkos vonallal lehet reprezentálni, amely az index vonalait vízszintesen metszi.

{\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}} — Szimmetrizáció

$Q^{(ab\ldots n)}$

(val vel ${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$ )

Az indexek antiszimmetrizációja egy vastag vízszintes vonal, amely metszi az index vonalait.

{\displaystyle E_{[ab\ldots n]}} — Antiszimmetrizálás

<br> $E_{[ab\ldots n]}$

(val vel ${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$ )

Determináns

A determináns úgy alakul meg, hogy antiszimmetrizációt alkalmazunk az indexekre.

{\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)} — Determináns $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$

{\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}} — A mátrix inverze $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$

Kovariáns derivatív

A kovariáns derivatívot ( $\nabla$ ) úgy vizualizálhatjuk, hogy egy kört rajzolunk a tenzorok köré, és egy vonal mutat lefelé a körből, hogy reprezentálja a derivatív alsó indexét.

{\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)} — kovariáns derivatív $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$ $=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$

Tenzormanipuláció

A diagramszerű jelzésrendszer hasznos a tenzoralgebra manipulációjában. Általában megjelenik benne pár egyszerű „azonosság” a tenzormanipulációban.

Például $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ , ahol n a dimenziók száma, általános "azonosság".

Riemann görbületi tenzor

A Ricci és Bianchi-azonosságok a Riemann-görbülettenzor megadott feltételeivel megmutatják a jelölésrendszer erejét.

{\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}} — Ricci tenzor $R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$

{\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}} — Ricci azonosság $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$ $=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$

{\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0} — Bianchi identitás $\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$

Kiegészítések

A jelölésrendszer ki lett bővítve a spinorokkal és tvisztorokkal.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Penrose graphical notation című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.