Minkowski–Hajós-tétel

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

Ennek a sejtésnek számos egymással ekvivalens formája van:

1. Ha az n dimenziós teret egységkockákkal rácsszerűen fedjük le, akkor van két kocka, amelyek egy teljes n-1 dimenziós lap mentén csatlakoznak. (Rácsszerű lefedés esetén a középpontok rácsot alkotnak, ahol rács n lineárisan független ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ vektor esetén az összes ${\displaystyle k_{1}v_{1}+\cdots +k_{n}v_{n}}$ alakú összeg, ahol k₁,…,k_n egész számok.)

2. Ha A olyan n-szer n-es mátrix, amelynek a determinánsa 1 és nincs csupa egészből álló oszlopa, akkor van olyan egészekből, de nem kizárólag nullákból álló x oszlopvektor, hogy az Ax oszlopvektor minden koordinátája 1-nél kisebb.

3. Ha a G véges Abel-csoport minden eleme pontosan egyszer szerepel az ${\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{s}}$ Descartes-szorzatban, ahol minden tényező ${\displaystyle \{1,\dots ,x^{n}\}}$ alakú halmaz, akkor legalább az egyik tényező csoport.

Minkowski 1896-ban az 1. formát n≤3-ra igazolta, az általános esetet egy későbbi, valójában soha nem publikált cikkben ígérte. Így kapta az állítás a Minkowski-sejtés nevet. Ezt Jansen, Schmidt, Keller és Perron egészen az az n=9 esetig igazolta.

A problémát végül is Hajós György 1941-ben, harmadik formájában, csoportgyűrűket alkalmazó módszerekkel igazolta.