Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség

A mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, ami szerint ha ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ pozitív valós számok, akkor

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}$

teljesül, tehát n szám mértani közepe legalább akkora, mint a harmonikus közepe. Egyenlőség csak akkor van, ha ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$.

Bizonyítása

Legyenek ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ pozitív valós számok. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a szintén pozitív valós ${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}},\dots ,{\frac {1}{a_{n}}}}$ számokra:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}\cdots {\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}}$

Felhasználva a gyökvonás azonosságait:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{n}]{{a_{1}}\cdots {a_{n}}}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}}$

Átszorozva készen is vagyunk:

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}$

Az egyenlőtlenség iránya nem változott, hiszen csupa pozitív szám szerepelt. Egyenlőség csak ${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}=\dots ={\frac {1}{a_{n}}}}$ számokra, azaz ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$ esetén teljesül (ez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből adódik).