Másodrendű nyomaték

A másodrendű nyomaték vagy inercianyomaték a síkidom jellemzője, melyet az ilyen keresztmetszetű rúd hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használnak. Hasonló a szerepe hajlításnál, mint csavarásnál a poláris másodrendű nyomatéknak.

A másodrendű nyomaték nem tévesztendő össze a tehetetlenségi nyomatékkal, melyet dinamikai számításoknál használnak. Mérnökök sokszor tehetetlenségi nyomaték nevet használnak másodrendű nyomaték helyett, ami zavaró lehet. Hogy melyik fogalomról van szó, azt a mértékegységből könnyen meg lehet állapítani.

Definíció

A tengelyre számított másodrendű nyomaték(más szóval ekvatoriális másodrendű nyomaték):

${\displaystyle I_{x}=\int y^{2}\,dA}$

ahol

• ${\displaystyle I_{x}\,}$ = a másodrendű nyomaték az ${\displaystyle x\,}$ tengely körül
• ${\displaystyle dA\,}$ = egy elemi terület
• ${\displaystyle y\,}$ = ${\displaystyle dA\,}$ elem távolsága az ${\displaystyle x\,}$ tengelytől

Mértékegysége

A másodrendű nyomaték SI egysége méter a negyedik hatványon (m⁴).

Különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatéka (Lásd még Másodrendű nyomatékok listája más keresztmetszetekre.)

Téglalap keresztmetszet (x és y tengelyek a súlyponton mennek át)

${\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}}$

• ${\displaystyle b\,}$ = szélesség (x-irányban),
• ${\displaystyle h\,}$ = magasság (y-irányban)

${\displaystyle I_{y}={\frac {hb^{3}}{12}}}$

• ${\displaystyle b\,}$ = szélesség (x-irányban),
• ${\displaystyle h\,}$ = magasság (y-irányban)

Körkeresztmetszet

${\displaystyle I_{0}={\frac {\pi r^{4}}{2}}}$

• ${\displaystyle r\,}$ = sugár
• ${\displaystyle d\,}$ = átmérő

Steiner-tétel

A Steiner-tétel segítségével egy síkidom másodrendű nyomatéka határozható meg tetszőleges tengelyre, ha a súlyponti, vele párhuzamos tengelyre ismert a másodrendű nyomaték és a tengelynek a súlyponti tengelytől való távolsága.

${\displaystyle I_{z}=I_{CG}+Ad^{2}\,}$

• ${\displaystyle I_{z}\,}$ = másodrendű nyomaték a z-tengelyre,
• ${\displaystyle I_{CG}\,}$ = másodrendű nyomaték a z tengellyel párhuzamos súlyponti tengelyre, (egybeesik a semleges tengellyel),
• ${\displaystyle A\,}$ = a síkidom területe,
• ${\displaystyle d\,}$ = a két tengely közötti távolság

Összetett keresztmetszetek

Gyakran egyszerűbb egy síkidomot részekre bontani, egyenként kiszámítani saját súlyponti tengelyükre a másodrendű nyomatékot, majd a Steiner-tétel segítségével összegezni.

${\displaystyle I_{x}=\sum \left(y^{2}A+I_{\mathrm {local} }\right)}$

${\displaystyle I_{y}=\sum \left(x^{2}A+I_{\mathrm {local} }\right)}$

• ${\displaystyle y\,}$ = távolság az x-tengelytől
• ${\displaystyle x\,}$ = távolság az y-tengelytől
• ${\displaystyle A\,}$ = a rész területe
• ${\displaystyle I_{local}\,}$ a rész tehetetlenségi nyomatéka a megfelelő irányban (azaz ${\displaystyle I_{x}\,}$ illetve ${\displaystyle I_{y}\,}$).

"I-tartó" keresztmetszet

Az I-tartót vagy három téglalap összegeként vagy egy nagy téglalap és két kis téglalap különbségeként lehet számítani.

• ${\displaystyle b\,}$ = szélesség (x-irányban),
• ${\displaystyle h\,}$ = magasság (y-irányban)
• ${\displaystyle t_{w}\,}$ = a gerinc szélessége
• ${\displaystyle h_{1}\,}$ = a két szalag távolsága

A következő képlet a nagy téglalapból kivonva a kis téglalapokat módszert használja. Az x-tengelyre vett másodrendű nyomaték:

${\displaystyle I_{x}={\frac {{bh^{3}}-2{{\frac {b-t_{w}}{2}}{h_{1}}^{3}}}{12}}}$

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomaték számításánál figyelembe kell venni, hogy az eltávolítandó részek másodrendű nyomatékát a Steiner-tétellel kell számítani:

${\displaystyle I_{y}={\frac {hb^{3}}{12}}-2\left({{\frac {h_{1}\left({\frac {b-t_{w}}{2}}\right)^{3}}{12}}+Ax^{2}}\right)}$

• ${\displaystyle A=h_{1}{\frac {b-t_{w}}{2}}}$ = a levonandó részek területe,
• ${\displaystyle x={\frac {b+t_{w}}{4}}}$ = a levonandó részek súlypontjának távolsága az y-tengelytől.

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomatékot egyszerűbben lehet kiszámítani, ha az I-tartót három téglalap összegére bontjuk, mert akkor mindegyik rész súlypontja a tengelyre esik:

${\displaystyle I_{y}={\frac {h_{1}{t_{w}}^{3}}{12}}+2{\frac {{\frac {h-h_{1}}{2}}b^{3}}{12}}}$

Centrifugális másodrendű nyomaték

Az I_xy centrifugális másodrendű nyomaték definíciós képlete:

${\displaystyle I_{xy}=-\int xy\,dA}$

• ${\displaystyle dA\,}$ = elemi terület,
• ${\displaystyle x\,}$ = az elemi ${\displaystyle dA\,}$ terület távolsága az y tengelytől,
• ${\displaystyle y\,}$ = az elemi ${\displaystyle dA\,}$ terület távolsága az x tengelytől.

A centrifugális másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítjuk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a centrifugális másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet. Azokat az egymásra merőleges tengelyeket, melyekre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke zéró, a keresztmetszet főtengelyeinek hívjuk. Szimmetriatengelyek mindig főtengelyek.

A centrifugális másodrendű nyomaték használható az eredeti koordináta-rendszerhez képest elforgatott rendszerben vett másodrendű nyomatékok számításához:

${\displaystyle {I_{x}}^{*}={\frac {I_{x}+I_{y}}{2}}+{\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\cos(2\varphi )+I_{xy}\sin(2\varphi )}$

${\displaystyle {I_{y}}^{*}={\frac {I_{x}+I_{y}}{2}}-{\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\cos(2\varphi )-I_{xy}\sin(2\varphi )}$

${\displaystyle {I_{xy}}^{*}=-{\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\sin(2\varphi )+I_{xy}\cos(2\varphi )}$

• ${\displaystyle \varphi \,}$ = az elfordulás szöge
• ${\displaystyle I_{x}\,}$, ${\displaystyle I_{y}\,}$ és ${\displaystyle I_{z}\,}$ = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az eredeti koordináta-rendszerben,
• ${\displaystyle {I_{x}}^{*}\,}$, ${\displaystyle {I_{y}}^{*}\,}$ és ${\displaystyle {I_{xy}}^{*}\,}$ = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az elforgatott koordináta-rendszerben.

Az a ${\displaystyle \varphi }$ szög, mellyel el kell fordítani a koordináta-rendszert, hogy a centrifugális nyomaték zéró legyen:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {2I_{xy}}{I_{x}-I_{y}}}}$

Ez a szög az, amit az eredeti koordináta-rendszer tengelyei a főtengelyekkel bezárnak.

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén

A centrifugális másodrendű nyomatékokra is létezik Steiner-tétel, ám ekkor a Steiner-tag más. Egy síkidom tetszőleges helyzetű centrifugális másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát.

${\displaystyle I_{xy}=I_{uv}+x_{s}y_{s}A\,}$

• ${\displaystyle I_{xy}\,}$ = centrifugális másodrendű nyomaték a xy-tengelyre,
• ${\displaystyle I_{uv}\,}$ =centrifugális másodrendű nyomaték az xy tengelyekkel párhuzamos súlyponti tengelyekre,,
• ${\displaystyle A\,}$ = a síkidom területe,
• ${\displaystyle x_{s},y_{s}\,}$ = síkidom súlypontjának koordinátái az xy koordinátarendszerben

Bizonyítás:

Mivel a koordináták közötti összefüggések:

${\displaystyle x=u+x_{s}\,}$

${\displaystyle y=v+y_{s}\,}$

így fel tudjuk írni az x,y tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomatékokat a következő alakban is

${\displaystyle I_{xy}=\int xy\,dA=\int (u+x_{s})(v+y_{s})\,dA=\,}$

${\displaystyle \int uv\,dA+y_{s}\int u\,dA+x_{s}\int v\,dA+x_{s}y_{s}\int \,dA=\ }$

${\displaystyle I_{uv}+y_{s}S_{v}+x_{s}S_{u}+x_{s}y_{s}A,\ }$

Ahol

• ${\displaystyle S_{u}\,}$ = u súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték
• ${\displaystyle S_{v}\,}$ =v súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték

Az u,v súlyponti tengelyekre a statikai (elsőrendű) nyomatékok zérus értékűek, ezért adódik, hogy

${\displaystyle I_{xy}=I_{uv}+x_{s}y_{s}A\,}$ .

A hajlított tartó feszültségei

A hajlított tartóban ébredő feszültség általános esetben:

${\displaystyle \sigma =-{\frac {M_{y}I_{x}+M_{x}I_{xy}}{I_{x}I_{y}-{I_{xy}}^{2}}}x+{\frac {M_{x}I_{y}+M_{y}I_{xy}}{I_{x}I_{y}-{I_{xy}}^{2}}}y}$

• ${\displaystyle \sigma \,}$ a hajlítófeszültség
• ${\displaystyle x\,}$ = az y-tengelytől mért távolság
• ${\displaystyle y\,}$ = az x-tengelytől mért távolság
• ${\displaystyle M_{y}\,}$ = hajlítónyomaték az y-tengely körül
• ${\displaystyle M_{x}\,}$ = hajlítónyomaték az x-tengely körül
• ${\displaystyle I_{x}\,}$ = másodrendű nyomaték az x-tengelyre
• ${\displaystyle I_{y}\,}$ = másodrendű nyomaték az y-tengelyre
• ${\displaystyle I_{xy}\,}$ = centrifugális nyomaték

Tehetetlenségi főtengelyek esetében

${\displaystyle \sigma =-{\frac {M_{y}}{I_{y}}}x+{\frac {M_{x}}{I_{x}}}y}$

Ha csak egyik tengely körül ébred hajlítónyomaték:

${\displaystyle {\sigma }={\frac {My}{I_{x}}}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Poláris másodrendű nyomaték
• Elsőrendű nyomaték
• Tehetetlenségi nyomaték
• Másodrendű nyomatékok listája

Források

• Mechanics of solids and structures, Benham, P.P. ISBN 0273361910
• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Flächenträgheitsmoment című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.