Hölder-egyenlőtlenség

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Hölder-egyenlőtlenség a következő állítás: ha ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}}$ nemnegatív valós számok, ${\displaystyle p,q>1}$, továbbá ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ teljesül, akkor

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}\right)^{1/q}}$

Egyenlőség akkor teljesül, ha valamelyik sorozat konstansszorosa a másiknak, tehát például van olyan ${\displaystyle \lambda }$, hogy ${\displaystyle b_{i}^{q}=\lambda a_{i}^{p}}$ minden i-re.

A tétel p=q=2-re vonatkozó esete a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség.

Bizonyítása

Legyen

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p},B=\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}}$

továbbá

${\displaystyle x_{i}={\frac {a_{i}^{p}}{A}},y_{i}={\frac {b_{i}^{q}}{B}}\quad (i=1,\dots ,n).}$

Ekkor tehát ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=y_{1}+\cdots +y_{n}=1}$ és azt kell igazolnunk, hogy

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\frac {1}{p}}y_{i}^{\frac {1}{q}}\leq 1.}$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség súlyozott formája miatt minden i-re

${\displaystyle x_{i}^{\frac {1}{p}}y_{i}^{\frac {1}{q}}\leq {\frac {1}{p}}x_{i}+{\frac {1}{q}}y_{i}}$

ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

${\displaystyle S\leq {\frac {1}{p}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {1}{q}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Egyenlőség akkor van, ha ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$ minden i-re, azaz ${\displaystyle b_{i}^{q}=\lambda a_{i}^{p}}$, ahol ${\displaystyle \lambda =B/A}$.

Története

Először Rogers igazolt egy ekvivalens állítást 1888-ban, majd Hölder, szintén különböző, de ekvivalens formában, 1889-ben. Mai formájában Riesz Frigyes mondta ki 1910-ben.