Gauss–Lucas-tétel

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.

A tétel állítása

Ha ${\displaystyle P(z)}$ egy komplex együtthatós polinom, akkor ${\displaystyle P'(z)}$ minden gyöke ${\displaystyle P(z)}$ gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).

A tétel bizonyítása

Legyen ${\displaystyle P(z)}$ gyöktényezős felbontása

${\displaystyle P(z)=a_{n}(z-r_{1})^{m_{1}}\cdots (z-r_{k})^{m_{k}},}$

ahol a különböző ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}}$ gyökök multiplicitásai ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{k}}$. Ekkor

${\displaystyle {\frac {P'(z)}{P(z)}}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {m_{j}}{z-r_{j}}}.}$

Legyen s ${\displaystyle P'(z)}$ egy gyöke. Ha ${\displaystyle s}$ az ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}}$ gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint

${\displaystyle \sum {\frac {m_{j}}{s-r_{j}}}=0.}$

A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy

${\displaystyle \sum a_{j}({\overline {s}}-{\overline {r_{j}}})=0}$

ahol

${\displaystyle a_{j}={\frac {m_{j}}{|s-r_{j}|^{2}}}.}$

Minden ${\displaystyle a_{j}}$ pozitív valós szám. A bal oldal tagjait konjugálva az adódik, hogy

${\displaystyle \sum a_{j}(s-r_{j})=0}$

.

Legyen ${\displaystyle a=a_{1}+\cdots +a_{k}}$. Ekkor azt kapjuk, hogy

${\displaystyle \sum a_{j}r_{j}=as.}$

Ha most bevezetjük a ${\displaystyle p_{j}=a_{j}/a}$ számokat, akkor egyrészt

${\displaystyle \sum p_{j}r_{j}=s}$

másrészt a ${\displaystyle p_{j}}$-k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát ${\displaystyle s}$ valóban benne van az ${\displaystyle r_{j}}$-k konvex burkában.