Exponenciális függvények értékeinek kiszámítása

Ez a cikk az ${\displaystyle e^{x}}$ exponenciális függvény értékeinek numerikus kiszámításával foglalkozik.

Algoritmus

Az exponenciális, ${\displaystyle e^{x}}$ , függvény Maclaurin-sora

${\displaystyle e^{x}}$ = 1 + x + ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2!}}}$ + ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}}$ + ... + ${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}}$ + ...

A sor konvergens a teljes valós számhalmazon. A maradéktag

${\displaystyle R_{n}(x)}$ = ${\displaystyle {\frac {e^{\Theta x}}{(n+1)!}}}$${\displaystyle x^{n+1}}$ (0 < θ < 1),

ahol a számláló kitevőjében a nagy theta jelölés szerepel. A maradéktag meredeken nő az x abszolút értékével, ezért lehetőleg kis értékek szerint kell a sorfejtést végezni. Ez elérhető a kitevő felbontásával egész- és törtrészre. Valóban, tetszőleges x érték felírható

x = [x] + q,

alakban, ahol [x] az x egészrésze és 0 ≤ q < 1 a törtrész, például: ${\displaystyle 4{,}7=4+0{,}7}$, ${\displaystyle -2{,}45=-3+0{,}55}$. Tehát

${\displaystyle e^{x}=e^{[x]}\cdot e^{q}}$.

Az első tényező egész kitevős hatvány, így értékét iterált szorzással kapjuk meg:

${\displaystyle e^{[x]}=e\cdot \ldots \cdot e}$, ha ${\displaystyle x\geq 0}$ ,

illetve

${\displaystyle e^{x}={\frac {1}{e}}{\frac {1}{e}}...{\frac {1}{e}}}$, ha ${\displaystyle x<0}$,

ahol ${\displaystyle e=2{,}718281828459045\pm 5\cdot 10^{-16}}$ az Euler-féle szám.

A sorfejtést tehát csak a második tényezőre kell kiszámolni:

${\displaystyle e^{q}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g^{n}}{n!}}}$

Mivel q < 1, a fenti sorozat a fentieknek megfelelően gyorsan konvergál, és a maradéktag

${\displaystyle 0\leq R_{n}(g)<{\frac {3}{(n+1)!}}q^{n+1}}$

Az tagok rekurrenciás kapcsolata:

${\displaystyle T_{0}=u_{0}=1}$ , ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}\cdot {\frac {x}{n+1}}}$ .

Pszeudokód

Az exponenciális függvényt számító algoritmus:

function TaylorExp( in: x, ε out: T )
u ← 1
n ← 0
T ← 1
repeat
u ← u*(x/n+1)
T ← T + u
n ← n + 1
until |u| < ε
return T
end function

Példa

Alkalmazásként határozzuk meg ${\displaystyle {\sqrt {e}}}$-t ${\displaystyle 10^{-7}}$ hibán belül. Ez esetben x = 1/2 tehát a rekurrenciás képlet:

${\displaystyle u_{0}=0}$ , ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}{\frac {1}{2(n+1)}}}$ , k=(1, 2, . . .)

A pontos érték 1.6487212707...

Források

• Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2008