Euler-féle szám

Nem tévesztendő össze a következővel: Euler–Mascheroni-állandó.

Az Euler-féle szám (jele: e) egy matematikai állandó, amit a természetes logaritmus alapjaként használnak. Irracionális és transzcendens.

A π és a képzetes egység i mellett az e az egyik legfontosabb állandó a matematikában.

Az e szám Euler-féle számként is ismert Leonhard Euler matematikus után, de Napier-állandónak is nevezik John Napier skót matematikusnak, a logaritmusfüggvény megalkotójának tiszteletére.

Értéke 500 értékes jegyre megadva:

e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931

Definíció

Az e néhány ekvivalens definíciója:

  • Az e a következő sorozat határértéke:
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}
e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }
ahol n! a faktoriálisa az n természetes számnak.
  • Az e az a pozitív valós szám, amelyre
∫ 1 e 1 t d t = 1 . {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t={1}.}

Tulajdonságok

Az ex exponenciális függvény az egyetlen függvény (konstanssal való szorzás erejéig), amely önmaga deriváltja, és így önmaga primitív függvénye:

( e x ) ′ = e x {\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}} és
∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C} , ahol C konstans.

Az e irracionális (bizonyítás) és transzcendens szám (bizonyítás). Az első szám volt, amiről bebizonyították, hogy transzcendens (kivéve azokat a számokat, amiket szándékosan transzcendensre konstruáltak). A bizonyítást Charles Hermite 1873-ban végezte el. Sejtések szerint normális szám, azaz számjegyei véletlenszerűen fordulnak elő. Szerepel az Euler-képletben, amely az egyik legfontosabb matematikai azonosság:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} ,

Az x = π {\displaystyle x=\pi } speciális esetet Euler-azonosságnak nevezik:

e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}

amit Richard Feynman Euler drágakövé-nek nevez.

Az e lánctört alakba fejtve egy érdekes mintát tartalmaz (A005131 sorozat az OEIS-ben), ami így írható le:

e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, …]

Az e hatványait kifejezhetjük a következőképpen:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}

Minden valós x számra teljesül az

1 + x ≤ e x {\displaystyle 1+x\leq e^{x}}

egyenlőtlenség. (Egyenlőség egyetlen esetben, az x = 0 {\displaystyle x=0} helyen áll fenn.)

Ezt x e − 1 = x − e e {\displaystyle {\frac {x}{e}}-1={\frac {x-e}{e}}} -re alkalmazva:

1 + x − e e = x e ≤ e x − e e = e ( x e − 1 ) = e x e e {\displaystyle 1+{\frac {x-e}{e}}={\frac {x}{e}}\leq e^{\frac {x-e}{e}}=e^{({\frac {x}{e}}-1)}={\frac {e^{\frac {x}{e}}}{e}}}

amit e {\displaystyle e} -vel megszorozva ezt kapjuk:

x ≤ e x e {\displaystyle x\leq e^{\frac {x}{e}}}

Ha x pozitív valós szám, mindkét oldalból x-edik gyököt vonva kapjuk, hogy x x ≤ e e {\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}\leq {\sqrt[{e}]{e}}} , más szóval pozitív x-re az x x {\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} függvény x = e {\displaystyle x=e} -ben éri el maximumát ( ≈ 1.44466786101 {\displaystyle \approx 1.44466786101} ).

A logaritmusokra vonatkozó azonosságok alapján:

e = 10 lg ⁡ a ln ⁡ a , {\displaystyle e=10^{\frac {\lg a}{\ln a}},}

ahol a {\displaystyle a} egytől különböző pozitív szám.

Története

John Napier logaritmusról írt művében jelentek meg az első utalások az e számra 1618-ban. A függelék nem adott közelítést magára a számra, de tartalmazott egy táblázatot a természetes logaritmusról. Ezt a táblázatot feltehetően William Oughtred készítette. Az e számot elsőként Jacob Bernoulli használta, amikor ennek a kifejezésnek az értékét kereste:

lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

A szám első ismert alkalmazása Gottfried Wilhelm Leibniz és Christiaan Huygens levelezésében jelent meg 1690-ben és 1691-ben, ahol is b-vel jelölték. Elsőként Leonhard Euler használta az e betűt 1727-ben, és az 1736-ban megjelent Mechanicá-ban. Egyes kutatók az ezt követő években a c betűt használták, de végül az e terjedt el.

Az e betű választásának okai ismeretlenek, de egyes elméletek szerint az exponenciális szó első betűjéből ered. Egy másik elgondolás szerint ez az első magánhangzó az a után, amivel Euler egy másik számot jelölt. Ez az elgondolás nem magyarázza meg, hogy Euler miért használta ezeket a magánhangzókat. Nem valószínű, hogy a saját nevének kezdőbetűjét használta volna, hiszen nagyon szerény volt, és mindig megadta mások munkáinak a kellő tiszteletet.[1]

Matematikán kívüli használata

Az e az egyik leghíresebb matematikai konstans, ezért a matematikán kívül is népszerű. Néhány példa:

  • 2004-ben az IPO (a Google leányvállalata) 2 718 281 828 dolláros növekedést akart.
  • Donald Knuth a METAFONT verziószámait úgy állapította meg, hogy azok az e számot közelítsék. Így a verziószámok 2, 2.7, 2.71, 2.718, …
  • Szintén a Google tehet egy rejtélyes hirdetőtábláról, [1] amely először a Szilícium-völgyben, majd a Massachusetts állambeli Cambridge-ben jelent meg, amely így szólt {az első tízjegyű prímszám, amely az e egymást követő számjegyeiben található}.com. Aki megoldotta a feladatot és meglátogatta a megjelölt weblapot, egy sokkal nehezebb megfejtendő feladatot talált. (Az első tízjegyű prímszám, amely az e számjegyeiben előfordul, a 7427466391, amely meglepő módon csak a 101. számjegynél kezdődik.) [2] Archiválva 2007. május 29-i dátummal a Wayback Machine-ben
  • A neper (Np) mértékegység, ami két szám arányát adja meg, e-alapú logaritmust használ (ellentétben a decibel 10-es alapjával). Felhasználása: nyomás, térerősség, jelszint stb.[2]

A = log e ⁡ U 2 U 1   [ N p ] {\displaystyle A=\log _{e}{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\ [Np]}  ; A = 1 2 ⋅ log e ⁡ P 2 P 1   [ N p ] {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot \log _{e}{\frac {P_{2}}{P_{1}}}\ [Np]}

Hivatkozások

  1. ↑ Eli Maor: E: The Story of a Number. Princeton University Press. 1994. ISBN 978-0-691-14134-3. p. 156.
  2. ↑ Archivált másolat. [2015. június 10-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2010. szeptember 12.)

Források

  • Maor, Eli; e: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7
  • O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "Az e szám"; University of St Andrews Scotland (2001)
  • O'Connor: "The number e"

További információk

  • Az e szám 1 millió tizedesjegy pontossággal
  • Az e szám 10 millió tizedesjegy pontossággal
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap