Euklideszi gyűrű

Az euklideszi gyűrű a számelmélet és az algebra egyik speciális fogalma. Lényegében egy olyan gyűrű, amiben a maradékos osztás, más néven euklideszi osztás tétele igaz. Utóbbinak feltétele, hogy egy speciális függvény, az euklideszi norma legyen értelmezve a gyűrűn.

Az euklideszi gyűrűk lényeges szerepet játszanak az algebrában, mivel számos „jó” tulajdonságuk van, például teljesül bennük a számelmélet alaptétele.

Definíció

Egy R integritástartományt euklideszi gyűrűnek nevezünk, ha benne norma értelmezhető, azaz

${\displaystyle \exists \varphi :R\rightarrow \mathbb {N} ,{\begin{cases}\varphi (x)=0\Leftrightarrow x=0\\\varphi (x)=\varphi (y)\Leftrightarrow x\sim y{\text{, azaz asszociáltjai egymásnak}}\\\varphi (xy)\geq \varphi (x)\varphi (y)\end{cases}}}$,

valamint minden ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b\neq 0}$ számmal elvégezhető a maradékos osztás, azaz

${\displaystyle \exists q,r\in R:\varphi (r)<\varphi (b),a=bq+r}$.^[1] Bizonyítható, hogy ha ez létezik, akkor egyértelmű.

Példák

Az alábbiak euklideszi gyűrűk, ez általában könnyen ellenőrizhető.

• Az egész számok gyűrűje a hagyományos abszolút értékkel, mint normával ellátva. A definíció első felének teljesülése könnyen ellenőrizhető, a maradékos osztás pedig eredetileg pont itt volt megfogalmazva, ezért mondhatni definíció szerint teljesül.
• Ha ${\displaystyle T}$ test, akkor a felette lévő ${\displaystyle T[x]}$ polinomgyűrű a fokszám-normával ellátva euklideszi. Itt a fokszám-normát a következő módon definiáljuk:

${\displaystyle \varphi :\mathbb {T} [x]\rightarrow \mathbb {N} ,f\to {\begin{cases}0{\text{, ha }}f=0\\2^{grad(f)}{\text{ egyébként. Itt }}grad(f){\text{ az }}f{\text{ polinom foka.}}\end{cases}}}$

Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez kielégíti a normára kirótt feltételeket, figyelembe véve, hogy a polinomgyűrűben az egységek éppen a gyűrű alatti test elemei. Már csak az euklideszi osztást kell igazolni. Legyen ${\displaystyle f,g\in \mathbb {K} [x]}$. Az euklideszi osztás azt jelenti, hogy ${\displaystyle \exists q,r\in \mathbb {K} [x]}$, hogy ${\displaystyle f=qg+r}$ és ${\displaystyle \varphi (r)<\varphi (g)}$. Ha ${\displaystyle \varphi (g)>\varphi (f)}$, akkor ${\displaystyle f=0\cdot g+f}$. Egyébként legyen ${\displaystyle g_{0}=g}$, és ${\displaystyle g_{i}=g_{i-1}-{\frac {\left(g_{i-1}\right)_{grad(g_{i-1})}}{f_{grad(f)}}}f}$. Így a ${\displaystyle g_{i}}$ polinomok szigorúan csökkenú fokszám-normájú sorozatát kapjuk, tehát lesz olyan ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$, hogy ${\displaystyle \varphi (g_{j})<\varphi (f)}$. Ekkor a ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j-1}g_{i}}$ és ${\displaystyle r=g_{j}}$ polinomok teljesítik a feltételünket, erről visszaszorzással meggyőződhetünk.

• A Gauss-egészek gyűrűje az euklideszi normával. A normafeltétel teljesülése egyszerűen belátható, a maradékos osztás kissé nehézkesebb. Legyen ${\displaystyle a,b\in \mathbb {G} }$. Olyan ${\displaystyle q,r\in \mathbb {G} }$ számokat keresünk, hogy ${\displaystyle a=bq+r}$. Ha ezt átalakítjuk kissé, akkor kapjuk, hogy ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=q+{\frac {r}{b}}}$, ebből pedig az euklideszi osztás feltétele miatt következik, hogy ${\displaystyle \varphi \left({\frac {r}{b}}\right)^{2}<1}$. Az egyenlőség miatt ${\displaystyle \varphi \left({\frac {a}{b}}-q\right)^{2}<1}$, ami jó is lesz maradéknak. Legyen tehát ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=c+di}$, és keressünk olyan ${\displaystyle c',d'\in \mathbb {Z} }$ számokat, hogy ${\displaystyle |c-c'|\leq {\frac {1}{2}}}$, valamint ${\displaystyle |d-d'|\leq {\frac {1}{2}}}$, azaz legyenek a legközelebbi egészek.Ezek biztosan léteznek az egész számok jólrendezettsége miatt. Ha pedig ${\displaystyle q=c'+d'i}$, akkor készen is vagyunk, mivel ${\displaystyle \varphi \left({\frac {a}{b}}-q\right)^{2}=(c-c')^{2}+(d-d')^{2}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}<1}$.
• Végtelen ciklikus csoport test feletti csoportgyűrűje is euklideszi.^[2]

Tulajdonságok

• Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is. Ez azonban fordítva nem igaz.

Bizonyítás: Legyen ${\displaystyle I}$ a gyűrű egy ideálja, és ${\displaystyle g}$ a legkisebb nem nulla normájú eleme. Azt kell belátni, hogy ${\displaystyle (g)=I}$, azaz a gyűrű minden ideálja főideál. A ${\displaystyle (g)\subseteq I}$ nyilvánvalóan igaz, mivel ${\displaystyle I}$ tartalmazza ${\displaystyle g}$ minden többszörösét. Válasszunk egy tetszőleges ${\displaystyle f}$ elemet ${\displaystyle I}$-ből. Erre igaz a gyűrű definíciója miatt, hogy ${\displaystyle f=gq+r}$, ahol ${\displaystyle \varphi (r)<\varphi (g)}$. Ezért ${\displaystyle r=f-gq}$, azaz ${\displaystyle r\in I}$, és mivel ${\displaystyle g}$ minimális volt, ezért ${\displaystyle r=0}$ lehetséges csak. Ezért ${\displaystyle f\in (g)}$, emiatt ${\displaystyle I\subseteq (g)}$.^[3] A fordítottjára példa az ${\displaystyle E\left[{\sqrt {-19}}\right]}$ gyűrű, ami főideálgyűrű, de nem euklideszi.^[4]

• Érvényes a számelmélet alaptétele. Azonban attól, hogy egy gyűrűben teljesül ez a tétel, még nem lesz euklideszi.
• Az euklideszi gyűrűkben minden irreducibilis elem egyben prímtulajdonságú is. E tulajdonság miatt fordulhat elő az a furcsaság, hogy az iskolában a prímszámokat az irreducibilitás kijelentésével definiálják.
• Minden elempárnak létezik legnagyobb közös osztója. Ez könnyen belátható az euklideszi algoritmus alkalmazásával.

További információk

• Alice és Bob - 17. rész: Alice és Bob ókori haverja
• Alice és Bob - 21. rész: Alice és Bob titkosít

Források