Egészrész

A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x⌋ vagy [x]) egy valós számnak a nála nem nagyobb legnagyobb egész számot felelteti meg. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x⌉) az adott valós számnak a nála nem kisebb legkisebb egész számot felelteti meg.^[1]

A [x] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre;^[2] a ⌊x⌋ és a ⌈x⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak.^[3][4] A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer ('Gauss-zárójel') nevet az alsó egészrészre. Az angol nyelvben az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function, amiben az entier szó franciául egészet jelent.

Definíciók

Alsó egészrész

Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része) az az egész szám, mely a legnagyobb az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\},}$

Így például ${\displaystyle \lfloor 5\rfloor =5,\lfloor -3{,}5\rfloor =-4}$.

Felső egészrész

Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x-nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

Például: ${\displaystyle \lceil 3\rceil =3,\lceil -2{,}6\rceil =-2}$.

Törtrész

Egy x valós szám törtrésze az alsó egészrészétől való távolsága, azaz ${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$. Nyilván mindig teljesül, hogy ${\displaystyle 0\leq \{x\}<1}$.

Példa:

${\displaystyle x}$ érték	${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ alsó egészrész	${\displaystyle \lceil x\rceil }$ felső egészrész	${\displaystyle \{x\}}$ törtrész
2,4	2	3	0,4
2,7	2	3	0,7
−2,7	−3	−2	0,3
−2	−2	−2	0

Tulajdonságok

Ekvivalens definíciók

Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban pontosan egy egész szám van, ezért bármely x valós szám esetén egyértelműen léteznek olyan m és n egészek, amikre:

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.\;}$

Ekkor az egészrészek definícióiból ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}$ és ${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$.

Számolás egészrészekkel

A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n\quad \Longleftrightarrow \quad n\leq x<n+1\quad \Longleftrightarrow \quad x-1<n\leq x,\\\lceil x\rceil =n\quad \Longleftrightarrow \quad n-1<x\leq n\quad \Longleftrightarrow \quad x\leq n<x+1.\end{aligned}}}$

Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot is mutatják:

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\Longleftrightarrow \lfloor x\rfloor <n,\\n<x&\Longleftrightarrow n<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\Longleftrightarrow \lceil x\rceil \leq n,\\n\leq x&\Longleftrightarrow n\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Egész szám hozzáadásának hatása:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Ha n nem egy egész, akkor a fenti egyenlőségek helyett felírhatóak:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \geq \lceil x+y\rceil \geq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1.\end{aligned}}}$

Ezek csupa egész értékek, ezért bármilyen x, y valós számokra

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+y\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor {\text{ vagy }}\lfloor x+y\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\\lceil x+y\rceil =\lceil x\rceil +\lceil y\rceil {\text{ vagy }}\lceil x+y\rceil =\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1.\end{aligned}}}$

A függvények kapcsolata

A definíciók alapján nyilván ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil }$, ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész. Tehát

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\in \mathbb {Z} \\1,&{\mbox{ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}.}$

Az argumentum előjelét megváltoztatva az egészrész függvények egyike előjelváltással a másikra cserélhető, és fordítva. Ez így írható formálisan: ${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =\lceil x\rceil +\lfloor -x\rfloor =0}$.

Fennállnak továbbá a következő összefüggések is:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\in \mathbb {Z} \\+1,&{\mbox{ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}},\\&\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\in \mathbb {Z} \\-1,&{\mbox{ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}},\\&\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\in \mathbb {Z} \\+1,&{\mbox{ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}.\end{aligned}}}$

A felső és az alsó egészrész, illetve a törtrész idempotens:

${\displaystyle {\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }=\lfloor x\rfloor ;\;{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }=\lceil x\rceil ;\;{\Big \{}\{x\}{\Big \}}=\{x\}.}$

A két egészrész függvény összetevésével (kompozíciójával) visszakapjuk a belső függvényt, azaz ${\displaystyle {\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }=\lceil x\rceil }$ és ${\displaystyle {\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }=\lfloor x\rfloor }$.

Osztások

Ha m, n egészek és n ≠ 0, akkor

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Ha n pozitív^[5], akkor

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,\\\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .\end{aligned}}}$

Ha m pozitív^[6], akkor

${\displaystyle {\begin{aligned}n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,\\n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

m = 2-re sajátosan: ${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }$.

Az ún. Hermite-azonosság^[7] szerint pozitív egész m-ek és valós x-ek esetén:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,\\\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Egész számlálójú, pozitív egész nevezőjű racionális számok esetén az egészrészek közötti áttérési összefüggések^[8]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,\\&\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1.\end{aligned}}}$

Ha m és n is pozitív egész, és relatív prímek, akkor

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor k\cdot {\frac {m}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}$

A jobb oldali kifejezés szimmetrikus m-ben és n-ben, ezért

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor k\cdot {\frac {m}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=1}^{m-1}\left\lfloor k\cdot {\frac {n}{m}}\right\rfloor .}$

Ennek egy általánosítása pozitív m-re és n-re, illetve tetszőleges valós x-re^[9]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor =\\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Pozitív n-re és valós x, y-ra:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {1}{n}}\cdot {\Big \lfloor }{\frac {x}{y}}{\Big \rfloor }\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {x}{y}}\right\rfloor ,\\\left\lceil {\frac {1}{n}}\cdot {\Big \lceil }{\frac {x}{y}}{\Big \rceil }\right\rceil =\left\lceil {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {x}{y}}\right\rceil .\end{aligned}}}$

Jellemzés

A felső és alsó egészrész, illetve a törtrész függvények nem folytonosak a teljes ℝ-en – szakadási pontjaik az egész számok. Nem párosak és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans, a törtrész szakaszonként lineáris. A alsó egészrész és a törtrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos minden pontban. A szakadási pontok elsőfajúak – mindkét oldali határérték létezik és véges. Az egészrészek monoton növekvőek. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1.

Ezek a függvények nem fejthetők Taylor-sorba, mivel nem folytonosak. Ezen kívül Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak.

Az x mod y Fourier-sora rögzített y-ra:^[10]

${\displaystyle x{\bmod {y}}={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}},\quad {\text{ha }}y\nmid x.}$

Speciálisan, {x} = x mod 1 Fourier-sora:

${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}},\quad {\text{ha }}x\not \in \mathbb {Z} .}$

A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart.

Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}\qquad {\mbox{ha }}x{\mbox{ nem egész}}.}$

Alkalmazások

Kapcsolat a modulo operátorral

A mod operátor (minden y ≠ 0 esetén) így definiálható:

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel, ezért az y előjelétől függően ${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y}$ vagy ${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y}$.

Ha x egész és y pozitív, akkor

${\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}.}$

Rögzített y-ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény.

Kvadratikus reciprocitás

Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll.^[11][12]

Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen

${\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}.}$

Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}$

és

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}$

A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

Összetéve

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:^[13]

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}$

Kerekítés

A pozitív számok egészekre kerekítése az ${\displaystyle \lfloor x+0{,}5\rfloor }$ függvénnyel, a negatív számoké az ${\displaystyle \lceil x-0{,}5\rceil }$ függvénnyel írható le.

Tizedesjegyek levágása

A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel: nem negatív egészekre ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, nem pozitív egészekre pedig ${\displaystyle \lceil x-1\rceil +1}$.

A szignumfüggvény felhasználásával: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)\lfloor |x|\rfloor }$.

Jegyek száma

Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben ${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1.}$

Faktoriálisok prímtényezős felbontása

Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásában^[14]:

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots }$

Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány, ami nagyobb, mint n!.

Beatty-sorozatok

A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre particionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.^[15]

Az Euler-konstans

Több képletben is együtt szerepel az egészrésszel a γ = 0,5772156649... Euler–Mascheroni-konstans:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,\\&\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),\\&\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}.\end{aligned}}}$

Riemann-féle zéta függvény

A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban.

Parciális integrálással megmutatható,^[16] hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor

${\displaystyle {\sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}}$

Ha most φ(n) = n^−s, ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\;dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

Ez a képlet minden olyan s-re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x} Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van.^[17]

A kritikus sávban levő s = σ + i t-re

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.^[18]

Prímszámok

n akkor és csak akkor prím, ha^[19]

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

Legyen r > 1 egész, p_n az n-edik prím, és

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

Ekkor^[20]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

Van egy θ = 1,3064... szám (a Mill-konstans), hogy

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

mind prímek.^[21]

Van egy ω = 1,9287800... szám is, hogy

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

mind prímek.^[21]

Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből, hogy:^[22]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}$

Tehát, ha n ≥ 2,^[23]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk.

Ramanujan problémái

Srínivásza Rámánudzsan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek:^[24]

Ha n pozitív egész, akkor:

(I)     ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$

(II)     ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$

(III)     ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

Ezeket az állításokat sikerült belátni.

Megoldatlan kérdések

A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés:

Van-e k, k ≥ 6 egész, hogy^[25]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2\;\;?}$

Mahler^[26] belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.

Jegyzetek

Források

• ↑ Graham, Knuth, & Patashnik: Ronald L. Graham – Donald E. Knuth – Oren Patashnik: Concrete Mathematics. (angolul) Reading (Massachusetts): Addison–Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5  
• ↑ Lemmermeyer: Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. (angolul) Berlin: Springer Science+Business Media. 2000. ISBN 3-540-66957-4  
• ↑ Iverson: Kenneth E. Iverson: A Programming Language. (angolul) New York: John Wiley & Sons, Inc. 1962.  
• ↑ Higham: Nicholas J. Higham: Handbook of writing for the mathematical sciences. (angolul) Philadelphia (Pennsylvania): Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-420-6  
• ↑ Titchmarsh: Edward Charles Titchmarsh – David Rodney Heath-Brown: The Theory of the Riemann Zeta-function. (angolul) 2. kiadás. Oxford: Oxford University Press. 1986. ISBN 0-19-853369-1  
• ↑ Hardy & Wright: E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. (angolul) 5. kiadás. Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5 Hozzáférés: 2022. március 11.  
• ↑ Crandall & Pomerance: Richard Crandall – Carl Promerance: Prime Numbers: A Computational Perspective. (angolul) New York: Springer Science+Business Media. 2001. ISBN 0-387-94777-9 Hozzáférés: 2022. március 11.  
• ↑ Ribenboim: Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. (angolul) New York: Springer Science+Business Media. 1996. ISBN 0-387-94457-5  
• ↑ Ramanujan: Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. (angolul) Providence (Rhode Island): AMS / Chelsea. 2000. ISBN 978-0-8218-2076-6  

További információk

• Floor function (angol nyelven). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Štefan Porubský: Integer rounding functions (angol nyelven). Cseh Tudományos Akadémia, 2007. április 1. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Eric W. Weisstein: Floor function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Eric W. Weisstein: Ceiling function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)