Diszkrét topológia

A matematika topológia nevű ágában diszkrét topológiának nevezzük az olyan topológiát, amelyben a tér valamennyi részhalmaza nyílt. A diszkrét topológiával felruházott teret magát diszkrét topologikus térnek nevezzük.

Formális definíció

Legyen ${\displaystyle (X,\tau )}$ egy topologikus tér. Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle \tau }$ az ${\displaystyle X}$-en értelmezett diszkrét topológia, ha ${\displaystyle \tau }$ az ${\displaystyle X}$ alaphalmaz ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ hatványhalmaza.

Tulajdonságai

• Bármely halmaz topologikus térré tehető a diszkrét topológiával.
• Egy adott halmazon értelmezhető topológiák közül a diszkrét topológia a legfinomabb.
• Minden halmaz nyílt, és minden halmaz zárt.
• A diszkrét topológia csak nulla dimenziós vektortér felett lineáris. Egy topológia lineáris, ha az alaphalmaz vektortér, és a rajta értelmezett műveletek: az összeadás, és a skalárral szorzás folytonosak.
• Ha ${\displaystyle (X,\tau )}$ diszkrét topologikus tér, és ${\displaystyle f}$ olyan függvény, amely ${\displaystyle X}$-et egy másik ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ topologikus térre képezi le, akkor ${\displaystyle f}$ szükségképpen folytonos, hiszen minden halmaz ${\displaystyle f}$-nél vett ősképe nyílt. Megfordítva, egy ${\displaystyle g:Y\rightarrow X}$ függvény csak akkor lesz folytonos, ha értelmezési tartományának minden részhalmaza nyílt. Emiatt ha ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ homeomorfizmus, akkor szükségképpen ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ is diszkrét tér. Ez azt mutatja, hogy diszkrét tér homeomorf képe szintén diszkrét: a diszkrétség topologikus tulajdonság.

Források

• Schubert, Horst. Topológia, fordította Fridli Sándor, Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1986). ISBN 963-10-6424-7 
• http://www.cs.elte.hu/~krja/analyse/ana4.pdf^{[halott link]}

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!