Disszipatív erő

A konzervatív erőknek különleges szerepük van a fizikában, mert csak ilyen erők által végzett munka független az úttól, továbbá a mechanikai energia is csak konzervatív erők esetén állandó. A természetben azonban találkozunk olyan erőkkel is, amelyek nem konzervatívak. Pl.: súrlódási erő, az időtől vagy a tömegpont sebességétől függő erő. A nem konzervatív erőket disszipatív erőknek nevezzük. Az ilyen erők esetén már nem állandó a mechanikai energia, mert a disszipatív erőkkel kapcsolatos folyamatokban más energiafajták (pl. hő) is szerepelnek.

Vegyük azt az esetet, amikor a tömegpontra az F konzervatív erőn kívül például súrlódási erő is hat. Utóbbit jelöljük $F_{d}$ -vel.

A mozgásegyenlet:

$m{\ddot {r}}=F+F_{d}$

Szorozzuk meg az egyenletet ${\dot {r}}$ -tal, és integráljuk mindkét oldalt az idő szerint a $t_{1}$ és $t_{2}$ időpontok között:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}m\mathbf {\ddot {r}} \mathbf {\dot {r}} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \mathbf {\dot {r}} dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F_{d}} \mathbf {\dot {r}} dt$

Vegyük figyelembe, hogy

$m\mathbf {\ddot {r}} \mathbf {\dot {r}} ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m\mathbf {\dot {r}} ^{2}\right)$

$\mathbf {F{\dot {r}}} =-gradV\mathbf {\dot {r}} =-{\frac {dV}{dt}}$

Majd ezeket visszahelyettesítve

$E_{k}(t_{2})+E_{p}(t_{2})=E_{k}(t_{1})+E_{p}(t_{1})+\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf {F} _{d}d\mathbf {r}$

A mechanikai energia tehát nem állandó, annak változása a disszipatív erő munkájával egyenlő. Súrlódási erő esetén $\mathbf {F} _{d}$ a mozgásiránnyal ellentétes, ezért az $\mathbf {F} _{d}d\mathbf {r}$ skaláris szorzat negatív. Az erő munkája hővé alakul, és a keletkezett hőt fedezi a mechanikai energia csökkenése.

A tapasztalat igen széles körben igazolja az energia megmaradásának általános tételét, amely a folyamatokban fellépő valamennyi energiafajta figyelembevételével érvényes. A mechanikai energia megmaradása ennek speciális esete, amely csak konzervatív erőterekben igaz.