Beatty-tétel

A Beatty-tétel az elemi számelmélet egyik állítása. A tételt Samuel Beatty tűzte ki az American Mathematical Monthly feladat rovatában, 1926-ban.^[1][2]

A tétel kimondása

Legyen t>0 irracionális szám. Ekkor t Beatty-sorozatának nevezzük a

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{t}=[t],[2t],[3t],\dots =\left([nt]\right)_{n\geq 1}}$

számsorozatot, ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli.

A tétel szerint ha ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ pozitív irracionális számok, amikre teljesül

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1,}$

akkor ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }}$ és ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\beta }}$ együtt minden pozitív egész számot pontosan egyszer tartalmazza.

Bizonyítások

Első bizonyítás

Világos, hogy ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$ mindketten 1-nél nagyobb számok, ezért ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }}$-ban, illetve ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\beta }}$-ban nem fordulhat elő egynél többször egy egész szám. Tehát a tétel igazolásához elegendő megmutatnunk, hogy ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }\cap {\mathcal {B}}_{\beta }=\emptyset }$ (1) és ${\displaystyle (\mathbb {N} \setminus {\mathcal {B}}_{\alpha })\cap (\mathbb {N} \setminus {\mathcal {B}}_{\beta })=\emptyset }$ (2). Még megjegyezzük, hogy mivel ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$ irracionális, azért ${\displaystyle n\alpha }$ és ${\displaystyle m\beta }$ sosem egész szám.

(1) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy van olyan n és m, hogy ${\displaystyle n\alpha }$ és ${\displaystyle m\beta }$ ugyanabba a (k;k+1) intervallumba esik, vagyis

${\displaystyle k<n\alpha <k+1}$, ${\displaystyle k<m\beta <k+1}$,

átosztva

${\displaystyle {\frac {k}{\alpha }}<n<{\frac {k+1}{\alpha }}}$, ${\displaystyle {\frac {k}{\beta }}<m<{\frac {k+1}{\beta }}}$.

A két egyenlőtlenséget összeadva, és kihasználva a feltételt:

${\displaystyle k<n+m<k+1}$,

ami ellentmondás, hisz két szomszédos egész szám közé nem eshet más egész szám.

(2) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy valamely [k;k+1) intervallumba nem esik ${\displaystyle n\alpha }$ és ${\displaystyle m\beta }$ alakú szám sem. Ilyenkor tehát valamely n-re és m-re fennáll, hogy

${\displaystyle n\alpha <k}$, de ${\displaystyle k+1<(n+1)\alpha }$;

${\displaystyle m\beta <k}$, de ${\displaystyle k+1<(m+1)\beta }$.

Ismét átosztva és összeadva adódik, hogy

${\displaystyle m+n<k\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)}$

és

${\displaystyle (k+1)\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)<(n+1)+(m+1)}$.

A kettőt összevetve ${\displaystyle m+n<k<m+n+1}$ adódik, ami ismét ellentmondás.

(1) és (2) belátásával pedig a tétel bizonyítást nyert.

Második bizonyítás

Jelölje valamely N>0 egész számra ${\displaystyle f(N)}$ azt, hogy 0 és N közé ${\displaystyle \alpha }$-nak és ${\displaystyle \beta }$-nak összesen hány többszöröse esik. Ha belátjuk, hogy minden N-re, hogy ${\displaystyle f(N+1)=f(N)+1}$ (*), akkor az ${\displaystyle [N;N+1)}$ intervallumban pontosan egy ${\displaystyle n\alpha }$ vagy ${\displaystyle m\beta }$ alakú szám lehet, így N-et ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }}$ és ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\beta }}$ pontosan egyszer tartalmazza.

Könnyen átgondolható, hogy ${\displaystyle \left[{\frac {N}{\alpha }}\right]}$ darab ${\displaystyle \alpha }$-többszörös kisebb N-nél, és ${\displaystyle \left[{\frac {N}{\beta }}\right]}$ darab ${\displaystyle \beta }$-többszörös, ahonnan

${\displaystyle f(N)=\left[{\frac {N}{\alpha }}\right]+\left[{\frac {N}{\beta }}\right]}$.

Egyfelől, mivel ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$ irracionális, így garantáltan

${\displaystyle f(N)<{\frac {N}{\alpha }}+{\frac {N}{\beta }}=N}$.

Másrészt, az ${\displaystyle [x]>x-1}$ becslést felhasználva

${\displaystyle f(N)>\left({\frac {N}{\alpha }}-1\right)+\left({\frac {N}{\beta }}-1\right)=N-2}$

adódik, így ${\displaystyle f(N)}$ egész szám lévén csakis ${\displaystyle f(N)=N-1}$ lehet. Ebből pedig (*) leolvasható.

Megjegyzés: utóbbi bizonyításból világosan látható, hogy a tétel megfordítása is igaz.

Mindkét bizonyítás kis módosításával megkaphatjuk a tétel rokon változatát pozitív racionális számokra: ha (m,n)=1 pozitív egészek, akkor a következő ${\displaystyle m+n-2}$ racionális szám közül pontosan egy esik az ${\displaystyle (1;2),(2;3),\dots ,(m+n-2;m+n-1)}$ intervallumok mindegyikébe:

${\displaystyle {\frac {m+n}{m}},{\frac {2(m+n)}{m}},\dots ,{\frac {(m-1)(m+n)}{m}}}$; ${\displaystyle {\frac {m+n}{n}},{\frac {2(m+n)}{n}},\dots ,{\frac {(n-1)(m+n)}{n}}}$.

Jegyzetek

Források

• Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot
• Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből I. (Aritmetika és algebra)