Agnesi-féle görbe

Agnesi-féle görbe

Agnesi-féle görbe (ejtsd: Anyeszi) síkgörbe, algebrai görbe, nevét Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) olasz nyelvész, matematikus és filozófus után kapta.

Szerkesztése az ábra jelöléseivel: Jelöljünk ki egy kör kerületén egy O pontot. Húzzuk meg az OA szelőt, az A pont a kör tetszőleges másik pontja. Az M pont az O pont átmérőjén lévő átellenes kör-pont. Az OA szelő N pontban metszi a körhöz az M pontban húzott érintőt. Az N pontban OM-el húzott párhuzamos egyenes és erre az A-ban állított merőleges a P pontban metszi egymást. Az A pont helyének változtatásával ilyen módon megszerkesztett P pontok az Agnesi-féle görbe mértani helyét alkotják.

A görbe aszimptotája a körhöz O pontban húzott érintő, a görbe szimmetrikus az OM egyenesre.

Egyenletei

Az Agnesi-féle görbe szerkesztését mutató animáció

Legyen O pont az origó és M a pozitív y-tengelyen. Legyen a kör sugara a. Ekkor a görbe egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

y = 8 a 3 x 2 + 4 a 2 {\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}} .

Ha a=1/2, ez az egyenlet ilyen alakra egyszerűsödik:

y = 1 x 2 + 1 . {\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}

Egy paraméteres egyenletrendszere, ha ϑ {\displaystyle \vartheta \,} az OM és OA egyenesek által bezárt szög az óramutató járása szerint mérve:

x = 2 a   tg ⁡ ϑ ,   y = 2 a cos 2 ⁡ ϑ . {\displaystyle x=2a\ \operatorname {tg} \vartheta ,\ y=2a\cos ^{2}\vartheta .\,}

Egy másik paraméteres egyenletrendszer esetén legyen φ {\displaystyle \varphi \,} az OA egyenes és az x-tengely által bezárt, az óramutató járásával ellenkező irányban növekvő szög:

x = 2 a   ctg ⁡ φ ,   y = 2 a sin 2 ⁡ φ . {\displaystyle x=2a\ \operatorname {ctg} \varphi ,\ y=2a\sin ^{2}\varphi .\,}

Tulajdonságai

Agnesi-féle görbék a=1, a=2, a=4 és a=8 állandóval.
  • Az M ( 0 , a ) {\displaystyle M(0,a)\,} csúcspontban a görbületi sugár:
R M = a 2 {\displaystyle R_{M}={\frac {a}{2}}}
B ( a 3 , 3 a 4 ) {\displaystyle B{\bigg (}a{\sqrt {3}},{\frac {3a}{4}}{\bigg )}\,}

és

C ( − a 3 , 3 a 4 ) {\displaystyle C{\bigg (}-a{\sqrt {3}},{\frac {3a}{4}}{\bigg )}\,} .

Ezekben a pontokban az érintők meredeksége:

tg ⁡ α B = − 3 3 / 8 {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{B}=-3{\sqrt {3/8}}}

és

tg ⁡ α C = 3 3 / 8 {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{C}=3{\sqrt {3/8}}}
  • A görbe és aszimptotája közötti terület négyszerese a származtató kör területének, azaz
T = 4 π a 2 {\displaystyle T=4\pi a^{2}\,} .
  • A görbének, mint meridiángörbének az aszimptota körüli megforgatásával származtatott forgástest térfogata:
V = 4 π 2 a 3 {\displaystyle V=4\pi ^{2}a^{3}\,} .
  • A görbe súlypontja a ( 0 , a 2 ) {\displaystyle {\Big (}0,{\frac {a}{2}}{\Big )}} pont.

Források

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091