Théorème de Feuerbach

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En mathématiques, le théorème de Feuerbach, du nom du mathématicien Karl Feuerbach, affirme que dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits. Les points de contact sont appelés points de Feuerbach du triangle^[1].

Points de Feuerbach

Les trois points de tangence $F_{A}^{e},F_{B}^{e},F_{C}^{e}$ des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle ABC^[2].

Le point de Feuerbach F_e, point de contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit, est situé sur la droite des centres (IJ), avec I le centre du cercle inscrit et et J le centre du cercle d'Euler.

Soit S, le point de concours des droites $AF_{A}^{e},BF_{B}^{e},CF_{C}^{e}$ . Alors les points J, I, S et le point de Feuerbach F_e sont alignés et en division harmonique^[2].

Le point de Feuerbach F_e appartient aussi au cercle circonscrit du triangle cévien du centre I du cercle inscrit, ce dernier étant tangent en F_e au cercle inscrit et au cercle d'Euler^[3].

Six autres droites concourantes au point de Feuerbach

Trois droites symétriques des côtés du triangle de contact

Soit O le centre du cercle circonscrit et i_A, i_B, i_C les points de contact du triangle ABC avec son cercle inscrit.

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de contact i_Ai_Bi_C, passent par le point de Feuerbach.

Trois droites symétriques des côtés du triangle de Feuerbach

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de Feuerbach $F_{A}^{e}F_{B}^{e}F_{C}^{e}$ , passent par le point de Feuerbach.

Théorème de Feuerbach-Ayme dans un triangle rectangle

Soit ABC un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur de ABC sur (BC), O_B et O_C les centres des cercles inscrits dans les triangles AHB et AHC, et F₀ le point de Feuerbach inscrit du triangle ABC ; alors les droites (C’O_B) et (B’O_C) sont orthogonales et se coupent au point de Feuerbach. Le cercle de diamètre [O_BO_C] passe par F₀.

Remarque : outre le point de Feuerbach, le cercle de diamètre [O_BO_C] contient le pied H de la hauteur issue de A, le point de contact du cercle inscrit dans ABC avec le côté (BC) et les points d'intersection des bissectrices des angles aigus B et C avec la droite des centres (B’C’). Ces deux derniers points sont aussi situés sur les bissectrices en A des triangles AHB et AHC.

Bibliographie

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)

Notes et références

↑ (en) Brian Sherman, « Feuerbach’s Theorem », Australian Mathematics Education Journal (AMEJ), vol. 3, n^o 1,‎ 2021, p. 44-46
↑ ^{a et b} (en) Eric W. Weisstein, « Feuerbach Triangle », sur MathWorld
↑ (en) Lev Emelyanov et Tatiana Emelyanova, « A Note on the Feuerbach Point », Forum Geometricorum, vol. 1,‎ 2001, p. 121–124 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

Liens externes

La découverte du théorème par Jean-Louis Ayme sur les-mathematiques.net.
[PDF] La démonstration synthétique sur le site de Jean-Louis Ayme
Une démonstration de F. Marsal

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron