Sous-additivité

En mathématiques, une fonction f est dite sous-additive lorsque, pour tous les éléments x et y, f(x + y) ≤ f(x) + f(y).

Cela n'a de sens que si l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée de la fonction sont munis chacun d'une addition +, et si l'ensemble d'arrivée est muni d'une relation d'ordre ≤.

Plus généralement, toute fonction concave ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ telle que ${\displaystyle f(0)\geq 0}$ est sous-additive^[1].

Exemples

• Le module dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (par inégalité triangulaire).
• Les normes dans des espaces vectoriels normés.
• La fonction ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {ln} (1+x)}$.
• Les fonctions puissances ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+},\ x\mapsto x^{a}}$ d'exposant ${\displaystyle a\in \left[0,1\right]}$.
• La fonction racine n-ième pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$, cas particulier des fonctions puissances (${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x+y}}\leq {\sqrt[{n}]{x}}+{\sqrt[{n}]{y}}}$).
• La fonction ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(E)\to \mathbb {N} ,A\mapsto \mathrm {Card} (A)}$, où l'addition dans ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ est l'union ensembliste ${\displaystyle \cup }$, et l'addition dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$ est l'addition usuelle. En effet, par la formule du crible, ${\displaystyle \mathrm {Card} (A\cup B)=\mathrm {Card} (A)+\mathrm {Card} (B)-\mathrm {Card} (A\cap B)\leq \mathrm {Card} (A)+\mathrm {Card} (B)}$.

Note

Articles connexes

• Lemme sous-additif
• Inégalité triangulaire
• Norme (mathématiques)
• Semi-norme
• Fonction sous-identitaire

• Portail des mathématiques