Fonction quantile

Fonction quantile
Représentation graphique de la fonction quantile d'une loi normale d'espérance 0 et de variance 1
Notation
Q ( q ) = F ← ( q ) {\displaystyle Q(q)=F^{\leftarrow }(q)}
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
[ 0 ; 1 ] {\displaystyle [0;1]}

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En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles.

Définition formelle

Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par

Q ( q ) = F ← ( q ) = inf { x : F ( x ) ⩾ q } {\displaystyle Q(q)=F^{\leftarrow }(q)=\inf \left\{x:F(x)\geqslant q\right\}}

pour toute valeur de q ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle q\in [0,1]} [1], la notation F ← {\displaystyle F^{\leftarrow }} désignant l’inverse généralisé à gauche de F {\displaystyle F} .

Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors Q ( q ) {\displaystyle Q(q)} est l'unique valeur de x {\displaystyle x} telle que F ( x ) = q {\displaystyle F(x)=q} . F ← {\displaystyle F^{\leftarrow }} correspond alors à la fonction réciproque[1] de F {\displaystyle F} , notée F − 1 {\displaystyle F^{-1}} . En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.

On dit que :

  • Q ( 0 , 5 ) {\displaystyle Q(0,\!5)} est la médiane ;
  • Q ( 0 , 25 ) {\displaystyle Q(0,\!25)} le premier quartile ;
  • Q ( 0 , 75 ) {\displaystyle Q(0,\!75)} le troisième quartile ;
  • Q ( 0 , 1 ) {\displaystyle Q(0,\!1)} le premier décile et
  • Q ( 0 , 9 ) {\displaystyle Q(0,\!9)} le neuvième décile.

Exemples

Lois continues

Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ est :

F ( x ; λ ) = 1 − e − λ x 1 1 x ≥ 0 {\displaystyle F(x;\lambda )=1-{\rm {e}}^{-\lambda x}1\!\!1_{x\geq 0}}

La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ p < 1, la valeur Q tel que 1 − e − λ Q = p {\displaystyle 1-{\rm {e}}^{-\lambda Q}=p} soit :

Q ( p ; λ ) = − ln ⁡ ( 1 − p ) λ , {\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!}

Les quartiles sont donc :

  • premier quartile (p = 1/4): − ln ⁡ ( 3 / 4 ) / λ {\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda \,}
  • médiane (p = 2/4) : − ln ⁡ ( 1 / 2 ) / λ {\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda \,}
  • troisième quartile (p = 3/4) : − ln ⁡ ( 1 / 4 ) / λ . {\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .\,}

De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :

  • loi de Cauchy de paramètres x0 et a
    Q ( p ; x 0 , a ) = x 0 + a tan ⁡ ( π ( p − 1 2 ) ) {\displaystyle Q(p;x_{0},a)=x_{0}+a\tan \left(\pi \left(p-{\frac {1}{2}}\right)\right)}
  • loi logistique de paramètres μ et s
    Q ( p ; μ , s ) = μ + 2 s artanh ⁡ ( 2 p − 1 ) {\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\operatorname {artanh} (2p-1)}
  • loi de Laplace
    Q ( p ; μ , b ) = μ − b sgn ⁡ ( p − 0 , 5 ) ln ⁡ ( 1 − 2 | p − 0 , 5 | ) . {\displaystyle Q(p;\mu ,b)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0,5)\,\ln(1-2|p-0,5|).}
Loi de Tukey-lambda

La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :

Q ( p ; λ ) = p λ − ( 1 − p ) λ λ ,   λ ∈ R {\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }}{\lambda }},\ \lambda \in \mathbb {R} }

Notes et références

  1. ↑ a et b (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, New York, Springer-Verlag, , 461 p. (ISBN 978-0-387-40272-7, lire en ligne), définition 2.16, page 25.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Quantile Function », sur MathWorld
  • icône décorative Portail des probabilités et de la statistique