Anneau de cohomologie

En mathématiques, plus précisément en topologie algébrique, l'anneau de cohomologie d'un espace topologique X est un anneau composé des groupes de cohomologie de X, et dont l'opération de multiplication est le cup-produit. Dans ce cadre, la 'cohomologie' désigne généralement la cohomologie singulière, mais la structure d'anneau est aussi présente dans d'autres théories, comme la cohomologie de De Rham. Il est également fonctoriel : on peut trouver un morphisme d'anneaux continue, lequel est contravariant.

Soit H k ( X , R ) {\displaystyle H^{k}(X,R)} une suite de groupes de cohomologie sur X {\displaystyle X} à coefficients dans un anneau commutatif R {\displaystyle R} (par exemple, on peut prendre Z n , Z , Q , R , C . . . {\displaystyle \mathbb {Z} _{n},\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} ...} ). On peut alors définir le cup-produit :

H k ( X ; R ) × H ℓ ( X ; R ) → H k + ℓ ( X ; R ) . {\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}

Le cup-produit donne une opération de multiplication sur la somme directe des groupes de cohomologie.

H ∙ ( X ; R ) = ⨁ k ∈ N H k ( X ; R ) . {\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}

Muni de cette opération de multiplication, H ∙ ( X , R ) {\displaystyle H^{\bullet }(X,R)} devient un anneau. En fait, c'est même une algèbre N {\displaystyle \mathbb {N} } -graduée, de degré k {\displaystyle k} .

L'anneau de cohomologie est gradué-commutatif, au sens où ses éléments commutent au signe près, lequel est déterminé par leur degré. Plus précisément, pour des éléments de degrés k , l {\displaystyle k,l} , on a :

( α k ⌣ β ℓ ) = ( − 1 ) k ℓ ( β ℓ ⌣ α k ) . {\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}

Un invariant numérique dérivé de l'anneau de cohomologie est la longueur de cup, qui désigne le nombre maximal d'éléments gradués de degrés supérieurs à 1 qui ne s'annulent pas lorsque multipliés. Par exemple, un espace projectif complexe a une longueur de cup égale à sa dimension.

Exemples

  • H ∗ ⁡ ( R P n ; F 2 ) = F 2 [ α ] / ( α n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})} avec | α | = 1 {\displaystyle |\alpha |=1} .
  • H ∗ ⁡ ( R P ∞ ; F 2 ) = F 2 [ α ] {\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]} avec | α | = 1 {\displaystyle |\alpha |=1} .
  • H ∗ ⁡ ( C P n ; Z ) = Z [ α ] / ( α n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})} avec | α | = 2 {\displaystyle |\alpha |=2} .
  • H ∗ ⁡ ( C P ∞ ; Z ) = Z [ α ] {\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]} avec | α | = 2 {\displaystyle |\alpha |=2} .
  • H ∗ ⁡ ( H P n ; Z ) = Z [ α ] / ( α n + 1 ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})} avec | α | = 4 {\displaystyle |\alpha |=4} .
  • H ∗ ⁡ ( H P ∞ ; Z ) = Z [ α ] {\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]} avec | α | = 4 {\displaystyle |\alpha |=4} .

Voir aussi

  • Cohomologie quantique (en)

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cohomology ring » (voir la liste des auteurs).
  • S. P. Novikov, Topology I, General Survey, Springer-Verlag, (ISBN 7-03-016673-6)
  • (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-79540-0)
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