Équation d'Hugoniot

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L'équation d'Hugoniot, utilisée en mécanique des fluides, décrit le comportement d'un écoulement isentropique stationnaire dans un volume fermé de section lentement variable. Cette dénomination en l'honneur de Pierre-Henri Hugoniot n'est pas universellement utilisée[1],[2].

Écoulement quasi-unidimensionnel

Dans une conduite ou une tuyère la variation lente de l'aire de la section droite permet d'assimiler l'écoulement à un écoulement en une dimension moyennant l'hypothèse :

V y , V z << V x {\displaystyle V_{y},V_{z}<<V_{x}}

Soit A ( x ) {\displaystyle A(x)} l'aire et f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} la quantité caractéristique à laquelle on s'intéresse. On écrit cette quantité sous forme d'une partie principale moyenne et d'un écart local à cette valeur :

f = f ¯ ( x ) + f ~ ( x , y , z ) {\displaystyle f={\bar {f}}(x)+{\tilde {f}}(x,y,z)}

f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} étant supposé en O ( ϵ ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )} on peut écrire :

f g ¯ ≃ f ¯ g ¯ {\displaystyle {\overline {f\,g}}\simeq {\bar {f}}\,{\bar {g}}}

et

∂ f ∂ x ¯ ≃ ∂ f ¯ ∂ x {\displaystyle {\overline {\frac {\partial f}{\partial x}}}\simeq {\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial x}}}

Ces relations vont nous permettre de moyenner les termes de l'équation d'Euler, non linéaire.

Équations d'Euler instationnaires

Dans le domaine D {\displaystyle {\mathcal {D}}} contenant le fluide, limité par la surface ∂ D {\displaystyle \partial {\mathcal {D}}} , de normale sortante n {\displaystyle \mathbf {n} } on peut écrire les bilans de conservation pour les équations d'Euler sous la forme suivante[3] :

  • on suppose nulle la masse entrante sur les parois :
d d t ∫ x 1 x 2 ∫ A ρ d a d x = − ∫ ∂ D ρ V ⋅ n d a ≃ − [ ∫ A ( x ) ρ V x d a ] x 1 x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\int _{A}\rho \,da\,dx=-\int _{\partial {\mathcal {D}}}\rho \mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \,da\simeq -\left[\int _{A(x)}\rho V_{x}\,da\right]_{x_{1}}^{x_{2}}}
À l'ordre 0 en ϵ {\displaystyle \epsilon } et en utilisant l'expression donnant la moyenne d'un produit :
∫ x 1 x 2 A ∂ ρ ¯ ∂ t d x = − [ A ρ ¯ V ¯ ] x 1 x 2 {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}A{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}dx=-\left[A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}}
Soit en dérivant :
A ∂ ρ ¯ ∂ t + ∂ ∂ x ( A ρ ¯ V ¯ ) = 0 {\displaystyle A\,{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}})=0}
  • en effectuant les mêmes opérations sur la quantité de mouvement et en utilisant l'équation de continuité on obtient :
ρ ¯ ( ∂ V ¯ ∂ t + V ¯ ∂ V ¯ ∂ x ) = − ∂ p ¯ ∂ x {\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\frac {\partial {\bar {V}}}{\partial t}}+{\bar {V}}{\frac {\partial {\bar {V}}}{\partial x}}\right)=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x}}}
  • de même pour l'équation de l'énergie en utilisant les équations de continuité et de quantité de mouvement :
ρ ¯ ( ∂ e ¯ ∂ t + V ¯ ∂ e ¯ ∂ x ) = − p ¯ A ∂ ∂ x ( A V ¯ ) {\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\frac {\partial {\bar {e}}}{\partial t}}+{\bar {V}}{\frac {\partial {\bar {e}}}{\partial x}}\right)=-{\frac {\bar {p}}{A}}{\frac {\partial }{\partial x}}(A{\bar {V}})}

Équations stationnaires

Elles découlent trivialement des précédentes :

  • bilan de masse :
d d x ( A ρ ¯ V ¯ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}})=0}
  • bilan de quantité de mouvement :
ρ ¯ V ¯ d V ¯ d x = − d p ¯ d x {\displaystyle {\bar {\rho }}\,{\bar {V}}{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\mathrm {d} {\bar {p}}}{\mathrm {d} x}}}
  • bilan d'énergie :
ρ ¯ V ¯ d e ¯ d x = − p ¯ A d d x ( A V ¯ ) {\displaystyle {\bar {\rho }}{\bar {V}}{\frac {\mathrm {d} {\bar {e}}}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\bar {p}}{A}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A{\bar {V}})}

Équation d'Hugoniot

La vitesse du son c ¯ {\displaystyle {\bar {c}}} à l'ordre 0 en ϵ {\displaystyle \epsilon } dans le milieu est donnée par:

c ¯ 2 = ∂ p ¯ ∂ ρ ¯ | S {\displaystyle {\bar {c\,}}^{2}=\left.{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial {\bar {\rho }}}}\right|_{S}}

S {\displaystyle S} (et non S ¯ {\displaystyle {\bar {S}}} ) est l'entropie. L'utilisation de cette relation suppose donc une restriction de ce qui suit à un écoulement isentropique, sans onde de choc. Dans notre cas :

d p ¯ = c ¯ 2 d ρ ¯ {\displaystyle \mathrm {d} {\bar {p}}={\bar {c\,}}^{2}\mathrm {d} {\bar {\rho }}}

L'équation stationnaire de quantité de mouvement s'écrit alors :

d ρ ¯ ρ ¯ = − M ¯ 2 d V ¯ V ¯ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}}=-{\bar {M}}^{2}\,{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}}

où M ¯ = V ¯ c ¯ {\displaystyle {\bar {M}}={\frac {\bar {V}}{\bar {c}}}} est le nombre de Mach à l'ordre 0.

L'équation de continuité stationnaire peut s'écrire sous la forme :

d A A + d ρ ¯ ρ ¯ + d V ¯ V ¯ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{A}}+{\frac {\mathrm {d} {\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}}+{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}=0}

En l'introduisant dans l'équation précédente on obtient l'équation d'Hugoniot :

d A A = ( M ¯ 2 − 1 ) d V ¯ V ¯ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{A}}=({\bar {M}}^{2}-1){\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}}

Cette équation montre que :

  • en subsonique une diminution de l'aire entraîne une augmentation de la vitesse,
  • en supersonique c'est le contraire.

Cette observation est à la base de la tuyère de Laval.

Références

  1. ↑ (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Fluid Mechanics, Oxford, Pergamon Press, , 539 p. (ISBN 0-08-033933-6, lire en ligne)
  2. ↑ (en) George K. Batchelor, An Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge/New York, Cambridge University Press, , 615 p. (ISBN 0-521-66396-2)
  3. ↑ Olivier Thual, Aérodynamique compressible et fluides hétérogènes, Cours ENSEEIHT, 2004 [1]

Liens externes

  • Ecoulement monodimensionnels des fluides compressibles

Articles connexes

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