Vietan kaavat

Vietan kaavat antavat matematiikassa yhteyden polynomin kertoimien ja sen juurten summien ja tulojen välille. Kaavat ovat saaneet nimensä ranskalaisen matemaatikon François Vièten (1540–1603) mukaan. Kaavoja käytetään erityisesti algebrassa. Suomalaisessa lukiomatematiikassa niitä on aiemmin sovellettu toisen asteen yhtälöihin, jolloin voidaan määrittää juurten summa ja tulo yhtälöä ratkaisematta, tai käänteisesti konstruoida yhtälö, jonka juurten summa tai tulo on haluttu luku.[1]

Kaavat

Polynomilla, jonka asteluku on n

p ( X ) = a n X n + a n − 1 X n − 1 + ⋯ + a 1 X + a 0 {\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,}

(jossa kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja ja an ≠ 0) on algebran peruslauseen mukaan n kompleksista juurta x1, x2, ..., xn(jotka eivät välttämättä ole erillisiä). Vietan kaavat antavat yhteyden polynomin kertoimien { ak } ja sen juurien { xi } summien ja tulojen välille seuraavasti:

{ x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n = − a n − 1 a n ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n ⋮ x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n . {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}


Esimerkki

Sovelletaan Vietan kaavoja toisen ja kolmannen asteen polynomeille:

toisen asteen polynomille p ( X ) = a X 2 + b X + c {\displaystyle p(X)=aX^{2}+bX+c} , jonka juuret x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} toteuttavat yhtälön p ( X ) = 0 {\displaystyle p(X)=0} pätee

x 1 + x 2 = − b a , x 1 x 2 = c a . {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}


Kolmannen asteen polynomille p ( X ) = a X 3 + b X 2 + c X + d {\displaystyle p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d} , jonka juuret x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} toteuttavat yhtälön p ( X ) = 0 {\displaystyle p(X)=0} pätee

x 1 + x 2 + x 3 = − b a , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a , x 1 x 2 x 3 = − d a . {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}.}

Todistus

Polynomi p(X) voidaan juuriensa x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} avulla kirjoittaa seuraavasti

∑ i = 0 n a i X i = a n ∏ i = 1 n ( X − x i ) = a n [ X n − ( ∑ i = 1 n x i ) X n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n ( x 1 x 2 ⋯ x n ) ] {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=a_{n}\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})=a_{n}\left[X^{n}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}(x_{1}x_{2}\cdots {x_{n}})\right]}

Koska kaksi polynomia ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki kertoimet ovat yhtä suuret, on oltava

{ x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n = − a n − 1 a n ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n ⋮ x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n . {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}

Lähteet

  • H. Gray Funkhouser: A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. American Mathematical Monthly, 1930. Mathematical Association of America.
  • Ernest Vinberg: A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003.
  • Dušan Djukić: The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004. Springer, New York, NY, 2006.

Viitteet

  1. ↑ Vaisala, K: Algebran oppi- ja esimerkkikirja II, pitempi kurssi. Helsinki: WSOY, 1946.