Trigonometriset integraalit

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Trigonometriset integraalit ovat joukko trigonometrisia funktioita sisältäviä integraaleja, joita ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla ja siksi niitä pidetään omina funktioinaan.

Sini-integraali (engl. sine integral) määritellään

${\displaystyle \mathrm {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}dt}$.

Tätä funktiota vastaava Taylorin sarjakehitelmä on

${\displaystyle \mathrm {Si} (x)={\frac {x}{1\cdot 1!}}-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)(2k+1)!}}x^{2k+1}}$,

missä ${\displaystyle !}$ tarkoittaa kertomaa. Sini-integraali on pariton funktio, sillä

${\displaystyle \mathrm {Si} (-x)=-\mathrm {Si} (x)\,}$.

Kosini-integraali (engl. cosine integral) muistuttaa jonkin verran edellistä:

${\displaystyle \mathrm {Ci} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt}$.

Tämä voidaan kirjoittaa myös integraalina nollasta ${\displaystyle x}$:ään

${\displaystyle \mathrm {Ci} (x)=-\gamma -\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}dt}$,

missä ${\displaystyle \gamma }$ on Eulerin–Mascheronin vakio ja arvoltaan likimain 0,57721. Kosini-integraalifunktiota ei vastaa varsinainen Taylorin sarja, mutta jälkimmäisen esitysmuodon integraalille voidaan kirjoittaa sarjakehitelmä

${\displaystyle \mathrm {Ci} (x)=-\gamma -\ln x+{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}-{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}+{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}-{\frac {x^{8}}{8\cdot 8!}}+\ldots =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{2k(2k)!}}}$.

• eksponentti-integraali
• sinc-funktio

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9.

• Mathworld: Sini-integraali (englanniksi)
• Mathworld: Kosini-integraali (englanniksi)