Täydellisyys

Täydellisyys on matematiikassa topologian peruskäsite, joka tarkoittaa sitä että metrisen avaruuden jokainen Cauchyn jono suppenee.^[1] Esimerkiksi avaruus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ on täydellinen, ja täydellisen avaruuden X osajoukko A on täydellinen, jos ja vain jos A on suljettu.^[1]

Tärkeä tulos on myös Banachin kiintopistelause, jonka mukaan täydellisen avaruuden X kontraktiolla itselleen on täsmälleen yksi kiintopiste a. Jono f(x), f(f(x)), f(f(f(x))) ... suppenee kohti tätä pistettä kaikilla ${\displaystyle x\in X}$.

Täydellisyys ei ole topologinen ominaisuus, sillä on olemassa metrisiä avaruuksia, jotka ovat homeo­morfiset, mutta joista toinen on täydellinen, toinen ei. Esimerkiksi reaalilukujen joukko ${\displaystyle \mathbf {R} }$ on täydellinen, mutta avoin väli ]0, 1[ ei, vaikka ne ovat homeo­morfiset.^[1]

Bairen lauseen mukaan täydellisten metristen avaruuksien tiheiden avointen osajoukkojen leikkaus on tiheä.^[1]

Topologiassa metrisen avaruuden (X,d) täydellistymällä tarkoitetaan paria (${\displaystyle \varphi }$,(Y,e)), missä (Y,e) on täydellinen metrinen avaruus ja ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$ on isometria Y:n tiheälle osajoukolle. Jokaisella metrisellä avaruudella on täydellistymä.^[2]