Pinta (geometria)

Osa artikkelisarjaa Geometria

Tasogeometria Piste Suora Käyrä Taso Pinta Pinta-ala Pituus Kulma Trigonometria Ympyrä Ellipsi Monikulmio Kolmio Nelikulmio Suorakulmio Neliö Suunnikas Neljäkäs Puolisuunnikas Avaruusgeometria Tilavuus Avaruuskappale Pallo Kartio Lieriö Särmiö Suuntaissärmiö Suorakulmainen särmiö Säännöllinen monitahokas Platonin kappale Tetraedri Heksaedri eli kuutio Oktaedri Dodekaedri Ikosaedri Keplerin–Poinsot'n kappale Euklidinen geometria Paralleeliaksiooma Epäeuklidinen geometria Hyperbolinen geometria Elliptinen geometria Analyyttinen geometria

Tämän artikkelin tai sen osan määritelmä puuttuu tai on huonosti laadittu. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin määritelmää. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla.

Määritelmä

Olkoon ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ topologinen avaruus. Tällöin joukon ${\displaystyle X}$ pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus ${\displaystyle \omega :D\rightarrow X}$, missä joukko ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ on yhtenäinen.^[1]

Kuvauksen ${\displaystyle \omega }$ kuvajoukkoa ${\displaystyle \omega (D)}$ kutsutaan pinnan ${\displaystyle \omega }$ kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:n pinnat

Euklidisen avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan ${\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ kaavan jatkuvien funktioiden ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}:D\rightarrow \mathbb {R} }$ avulla siten, että pisteessä ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ pinnan ${\displaystyle \omega }$ kaava

${\displaystyle \omega (x,y)=(\omega _{1}(x,y),\omega _{2}(x,y),...,\omega _{n}(x,y))}$.

Funktioita ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}}$ kutsutaan pinnan ${\displaystyle \omega }$ koordinaattifunktioiksi.

Oletetaan, että ${\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}}$ osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan ${\displaystyle \omega }$ osittaisderivaatat pisteessä ${\displaystyle (x,y)\in D}$ ovat funktiot ${\displaystyle \partial _{1}\omega ,\partial _{2}\omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle \partial _{1}\omega (x,y)=(\partial _{1}\omega _{1}(x,y),\partial _{1}\omega _{2}(x,y),...,\partial _{1}\omega _{n}(x,y))}$

${\displaystyle \partial _{2}\omega (x,y)=(\partial _{2}\omega _{1}(x,y),\partial _{2}\omega _{2}(x,y),...,\partial _{2}\omega _{n}(x,y))}$.

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan ${\displaystyle \omega }$ derivaatan. Pinnan ${\displaystyle \omega }$ derivaattafunktio on funktio ${\displaystyle \omega ':D\rightarrow \lbrace M:M{\mbox{ on }}n\times 2-{\mbox{matriisi}}\rbrace }$,

${\displaystyle \omega '(x,y)={\begin{bmatrix}\partial _{1}\omega _{1}(x,y)&\partial _{2}\omega _{1}(x,y)\\\partial _{1}\omega _{2}(x,y)&\partial _{2}\omega _{2}(x,y)\\\vdots &\vdots \\\partial _{1}\omega _{n}(x,y)&\partial _{2}\omega _{n}(x,y)\end{bmatrix}}}$.

Derivaattafunktion kaavaa ${\displaystyle \omega '(x,y)}$ kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä ${\displaystyle (x,y)}$. Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$, niin lineaarinen funktio ${\displaystyle T:D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle T(x,y)=\omega (x_{0},y_{0})+\omega '(x_{0},y_{0})(x-x_{0},y-y_{0})}$,

on likimääräisesti sama kuin itse pinta ${\displaystyle \omega }$ pisteen ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ läheisyydessä. Funktiota ${\displaystyle T}$ kutsutaan pinnan ${\displaystyle \omega }$ tangenttitasoksi pisteessä ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.