Problema de la cuadratura del círculo de Tarski

El problema de la cuadratura del círculo de Tarski es el reto, planteado por Alfred Tarski en 1925, de tomar un círculo en el plano, dividirlo en una serie finita de piezas y volver a ensamblar las piezas para obtener un cuadrado que tenga la misma área. Esto fue probado posible por Miklós Laczkovich en 1990, aunque la descomposición hace un uso importante del axioma de elección y no es por tanto constructiva. La descomposición de Laczkovich usa alrededor de 10⁵⁰ piezas diferentes.

En particular, es imposible diseccionar un círculo y hacer un cuadrado utilizando piezas que podrían ser cortadas con tijeras (es decir, teniendo la frontera de la curva de Jordan). Las piezas usadas en la demostración de Laczkovich son subconjuntos no medibles.

De hecho Laczkovich demostró que el ensamblaje puede realizarse usando solo translaciones; las rotaciones no son requeridas. A lo largo del camino, también ha demostrado que cualquier polígono simple en el plano puede ser descompuesto en una serie de piezas finitas y vuelto a ensamblar usando solo traslaciones para formar un cuadrado con la misma área. El teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien es un resultado relacionado pero mucho más sencillo: afirma que uno puede conseguir tal descomposición de un polígono simple con una serie finita de piezas poligonales si las traslaciones y las rotaciones están permitidas para el ensamblaje.

De un resultado de Wilson (2005) se deduce que es posible escoger las piezas de tal manera que pueden ser movidas continuamente mientras que queden disjuntas para producir el cuadrado. Además, este enunciado más fuerte puede ser probado también para que se consiga solo mediante traslaciones.

Estos resultados deberían compararse con las descomposiciones mucho más paradójicas en tres dimensiones proporcionadas por la paradoja de Banach–Tarski; aquellas descomposiciones incluso pueden cambiar el volumen de un conjunto. Aun así, en el plano, una descomposición en una serie finita de piezas tiene que preservar la suma de las medidas de Banach de las piezas, y por tanto no puede cambiar el área total de un conjunto (Wagon, 1993).

Véase también

• Cuadratura del círculo

Referencias

• Hertel, Eike; Richter, Christian (2003), «Squaring the circle by dissection», Beiträge zur Algebra und Geometrie 44 (1): 47-55, MR 1990983, archivado desde el original el 3 de marzo de 2016, consultado el 20 de diciembre de 2015 ..
• Laczkovich, Miklos (1990), «Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 404: 77-117, MR 1037431, doi:10.1515/crll.1990.404.77 ..
• Laczkovich, Miklos (1994), «Paradoxical decompositions: a survey of recent results», Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), Progress in Mathematics 120, Basel: Birkhäuser, pp. 159-184, MR 1341843 ..
• Tarski, Alfred (1925), «Probléme 38», Fundamenta Mathematicae 7: 381 ..
• Wilson, Trevor M. (2005), «A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem», Journal of Symbolic Logic 70 (3): 946-952, MR 2155273, doi:10.2178/jsl/1122038921 ..
• Wagon, Stan (1993), The Banach-Tarski Paradox, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 24, Cambridge University Press, p. 169, ISBN 9780521457040 ..