Potencial retardado

En electrodinámica, los potenciales retardados son potenciales electromagnéticos para el campo electromagnético generado por una corriente eléctrica o una distribución de carga en el pasado que varían en el tiempo. Los campos se propagan a la velocidad de la luz c, de modo que la relación causa-efecto que conecta a los campos a tiempos anteriores y posteriores es un factor importante. La señal requiere de un tiempo finito para propagarse desde un punto en la distribución de carga o la corriente (el punto de causa) hasta otro punto en el espacio (en donde se mide el efecto).[1]

Potenciales en el gauge de Lorenz

Vectores de posición r y r′ usados en el cálculo.
Artículos principales: Ecuaciones de Maxwell y Descripción matemática del campo electromagnético.

Iniciamos de la formulación en potenciales de las ecuaciones de Maxwell usando el gauge de Lorenz:

φ = ρ ϵ 0 , A = μ 0 J {\displaystyle \Box \varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} }

donde φ(r,t) es el potencial eléctrico y A(r,t) es el potencial vectorial electromagnético, para una fuente arbitraria de densidad de carga ρ(r,t) y una densidad de corriente J(r,t), mientras que {\displaystyle \Box } es el operador de D'Alembert. Al resolver estas ecuaciones se obtienen los potenciales retardados.

Potenciales retardados y adelantados para campos dependientes del tiempo

Para el caso de campos que dependen del tiempo, los potenciales retardados son:[2][3]

φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ρ ( r , t r ) | r r | d 3 r {\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
A ( r , t ) = μ 0 4 π J ( r , t r ) | r r | d 3 r . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}

donde r es un punto en el espacio, t es el tiempo,

t r = t | r r | c {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}

es el tiempo retardado y d3r' indica que la integración se realiza sobre todo el espacio.

A partir de φ(r,t) y A(r,t), los campos E(r,t) y B(r,t) pueden calcularse usando la definición de los potenciales:

E = φ + A t , B = × A . {\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}

Esto conduce a las ecuaciones de Jefimenko. Los potenciales adelantados correspondientes tienen una forma idéntica, a excepción de que el tiempo adelantado,

t a = t + | r r | c , {\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}},}

reemplaza al tiempo retardado.

Comparación con potenciales estáticos para campos que dependen del tiempo

En el caso de que los campos no dependan del tiempo (campos electrostáticos y magnetostáticos) las derivadas con respecto al tiempo en los operadores {\displaystyle \Box } son cero, y las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

2 φ = ρ ϵ 0 , 2 A = μ 0 J , {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,}

donde ∇² es el operador laplaciano, que toma la forma de la ecuación de Poisson en cuatro componentes (una para φ y tres para A). En este caso las soluciones son:

φ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ρ ( r ) | r r | d 3 r , {\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}
A ( r ) = μ 0 4 π J ( r ) | r r | d 3 r . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}

Estas se obtienen también directamente de los potenciales retardados.

Potenciales en el gauge de Coulomb

En el gauge de Coulomb, las ecuaciones de Maxwell son:[2]

2 φ = ρ ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
2 A 1 c 2 2 A t 2 = μ 0 J + 1 c 2 ( φ t ) , {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}

aunque las soluciones contrastan con las de arriba, puesto que A es un potencial retardado, aun así φ cambia instantáneamente, dado por:

φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ρ ( r , t ) | r r | d 3 r {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
A ( r , t ) = 1 4 π ε 0 × d 3 r 0 | r r | / c d t r t r J ( r , t t r ) | r r | 3 × ( r r ) . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}

Esto presenta una ventaja y una desventaja del gauge de Coulomb: φ es calculable fácilmente a partir de la distribución de carga ρ, pero A no se calcula tan sencillamente a partir de la distribución de corriente J. Sin embargo, debido a que necesitamos que los potenciales se anulen en infinito, pueden expresarse en términos de los campos:

φ ( r , t ) = 1 4 π E ( r , t ) | r r | d 3 r {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
A ( r , t ) = 1 4 π × B ( r , t ) | r r | d 3 r {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}

Aplicación

Una teoría de muchos cuerpos que incluye un promedio de los potenciales de Liénard-Wiechert retardados y adelantados es la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman, que también se conoce como teoría de Wheeler-Feynman simétrica en el tiempo.

Referencias

  1. C. B. Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2.ª edición). ISBN 0-07-051400-3. 
  2. a b I. S. Grant, W. R. Phillips (2008). Electromagnetism (2.ª edición). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 9-780471-927129. 
  3. D. J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3.ª edición). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 81-7758-293-3. 

Bibliografía

  • Jackson, J. D. (1962). «Cap. 14; Radiation of Moving Charges». Classical Electrodynamics. Wiley & Sons. ISBN 0471431311. 

Véase también

Enlaces externos

  • Esta obra contiene una traducción derivada de «Retarded potential» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 9 de diciembre de 2014, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
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