Mariposa de Hofstadter

En física de la materia condensada, la mariposa de Hofstadter se refiere a las propiedades del espectro de energía de electrones en una red cristalina en presencia de un campo magnético. La figura, que presenta autosimilitud y comportamiento fractal, fue descubierta por Douglas Hofstadter en 1976.^[1]​

La mariposa de Hofstadter jugó un rol histórico esencial en la teoría del efecto Hall cuántico y de la topología cuántica.

Teoría

Hofstadter en su estudio de electrones sin interacción en una malla cuadrada de constante ${\displaystyle a}$, consideró la relación de dispersión en un modelo de enlace fuertes, tal que

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a),}$

donde ${\displaystyle E(\mathbf {k} )}$ es la energía, ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y})}$ es el vector de onda asociado a la malla, y ${\displaystyle E_{0}}$ un parámetro empírico. Bajo influencia de un campo magnético homogéneo y constante ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$, donde ${\displaystyle \mathbf {A} }$ es el potencial vectorial electromagnético, uno puede introducir un cambio en la energía haciendo la sustitución siguiente: ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A} }$, donde ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y})}$ es el operador cantidad de movimiento y ${\displaystyle q=-e}$ es la carga del electrón. Por conveniencia Hofstadter escoge el gauge ${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$.

La ecuación de Schrödinger resultante, luego de considerar efectos de simetría y de traslación es la siguiente:

${\displaystyle g_{n}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu )g_{n}=\epsilon g_{n},}$

donde ${\displaystyle \epsilon =2E/E_{0}}$ y ${\displaystyle \alpha =\phi (B)/\phi _{0}}$ , donde ${\displaystyle \phi (B)=Ba^{2}}$ es proporcional al flujo magnético a través de una celda de la malla y ${\displaystyle \phi _{0}=2\pi \hbar /q}$ es el cuanta del flujo magnético. La función de onda del electrón está dada por ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (na,ma)=g_{n}e^{i\nu m}}$, donde ${\displaystyle n,m}$ son número enteros.

Esta última relación de recurrencia, se conoce como la ecuación de Harper. La mariposa de Hofstadter representa las solución gráfica de los posibles valores de ${\displaystyle \epsilon }$ en función del flujo ${\displaystyle \alpha }$.^[1]​

Confirmaciones experimentales

Christian Albrecht, Klaus von Klitzing y colaboradores realizaron una ejecución experimental en 2001 de la mariposa de Hofstadter. Lograron comprobar la predicción de David J. Thouless y de sus colaboradores que indicaba que la conductancia eléctrica debe estar cuantificada (ver efecto Hall cuántico).^[2]​

Dos equipos independientes demostraron el patrón de mariposa de Hofstadter en muestras de grafeno en 2013.^[3]​

En 2017, equipos académicos en colaboración con Google, demostraron la predicción de Hofstadter en simuladores cuánticos en cúbits superconductores.^[4]​

Referencias