Lema de Gauss

En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si ${\displaystyle D\,}$ es un dominio de factorización única (DFU) y ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en ${\displaystyle D}$ es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo ${\displaystyle p\in D[x]}$ es irreducible en ${\displaystyle ~D[x]}$ si y sólo si lo es en ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$.

El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en ${\displaystyle D[x]}$ y la irreducibilidad del mismo polinomio en ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$, puede demostrarse que al ser ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ un DFU también lo es ${\displaystyle D[x]}$.

Así, se tiene como corolario que si ${\displaystyle D}$ es un DFU entonces también lo es ${\displaystyle D[x]}$, sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ no es un DIP pero sí es un DFU.

También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.

Ejemplo de uso

Hallemos las raíces racionales del polinomio racional

${\displaystyle f=x^{8}+8/3x^{7}+1/3x^{6}-14/3x^{5}-14/3x^{4}-4/3x^{3}}$

Limpiando los denominadores de ${\displaystyle f}$ se obtiene el polinomio entero ${\displaystyle g}$ con las mismas raíces:

${\displaystyle g=3x^{8}+8x^{7}+x^{6}-14x^{5}-14x^{4}-4x^{3}=x^{3}(3x^{5}+8x^{4}+x^{3}-14x^{2}-14x-4)}$

Claramente, 0 es raíz de multiplicidad 3 de ${\displaystyle g}$ (y de ${\displaystyle f}$), y las restantes raíces racionales son las de

${\displaystyle h=3x^{5}+8x^{4}+x^{3}-14x^{2}-14x-4}$

Aquí, ${\displaystyle a_{0}=-4}$ y ${\displaystyle a_{n}=3}$.

Los divisores de ${\displaystyle a_{0}}$ son ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4}$ y los divisores de ${\displaystyle a_{n}}$ son ${\displaystyle \pm 1,\pm 3}$, luego las raíces racionales se buscan en el conjunto:

${\displaystyle \{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 1/3,\pm 2/3,\pm 4/3\}}$

Chequeando uno obtiene que ${\displaystyle h(-1)=0}$ y ${\displaystyle h(-2/3)=0}$. Así, las raíces racionales distintas de ${\displaystyle h}$ son ${\displaystyle -1}$ y ${\displaystyle -2/3}$, para conocer con que multiplicidad, se puede o bien dividir ${\displaystyle h}$ por ${\displaystyle (x+1)(x+2/3)}$ y volver a evaluar el cociente en ${\displaystyle -1}$ y ${\displaystyle -2/3}$. O bien también se puede derivar ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle h'=15x^{4}+32x^{3}+3x^{2}-28x-14}$

y se tiene que ${\displaystyle h'(-1)=0}$ mientras que ${\displaystyle h'(-2/3)\neq 0}$. O sea ${\displaystyle -1}$ es raíz de multiplicidad ≥ 2 y ${\displaystyle -2/3}$ es raíz simple.

Volviendo a derivar ${\displaystyle h}$: ${\displaystyle h''=60x^{3}+96x+6x-28}$ y ${\displaystyle h''(-1)\neq 0}$.

Se concluye que -1 es raíz doble de ${\displaystyle h}$.

Finalmente la factorización de ${\displaystyle h}$ en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$ es:

${\displaystyle h=3(x+1)^{2}(x+2/3)(x^{2}-2)}$

Y dado que ${\displaystyle f=1/3x^{3}h}$, resulta la siguiente factorización de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$:

${\displaystyle f=x^{3}(x+1)^{2}(x+2/3)(x^{2}-2)}$

Enlaces externos

• Polinomios y Raíces por Teresa Krick, Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Argentina.