Forma de curvatura

En geometría diferencial, la forma de curvatura es una generalización del tensor de curvatura a un fibrado principal con conexión arbitrario.

Sea E → B un fibrado con grupo de estructura el grupo de Lie G y ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ el álgebra de Lie de G.

Asumamos que ω denota la 1-forma a valores en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ que define la conexión en un fibrado. Entonces la forma de curvatura es la 2-forma Ω= d ω + ω ∧ ω aquí d es la derivada exterior y ∧ es el producto cuña (es un poco extraño aplicar el producto cuña a las formas con valores en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, pero trabaja de la misma manera).

Para el fibrado tangente de una variedad de Riemann tenemos O(n) como el grupo de estructura y el Ω es la 2-forma con valores en ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$(n) (que se pueden pensar como matrices antisimétricas, dada una base ortonormal). En este caso la forma Ω es una descripción alternativa del tensor de curvatura, a saber en la notación estándar (usando un marco tangente coordenado ${\displaystyle \partial _{s}}$) para el tensor de curvatura tenemos

${\displaystyle R(X,Y)\partial _{k}={\Omega ^{s}}_{k}(X,Y)\partial _{s}}$.

Referencias

S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Capítulos 2 y 3, Vol.I, Wiley-Interscience.