Espacio de Brauner

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio de Brauner es un espacio localmente convexo generado de forma compacta completo ${\displaystyle X}$ que tiene una secuencia de conjuntos compactos ${\displaystyle K_{n}}$ tal que todos los demás conjuntos compactos ${\displaystyle T\subseteq X}$ están contenidos en algún ${\displaystyle K_{n}}$.

Los espacios de Brauner llevan el nombre de Kalman George Brauner, que fue quien comenzó su estudio.^[1]​ Todos los espacios de Brauner son espacios estereotipos, y aparecen en las relaciones de dualidad estereotipadas con los espacios de Fréchet:^[2]​^[3]​

• Para cualquier espacio de Fréchet ${\displaystyle X}$, su espacio dual estereotipado^[4]​ ${\displaystyle X^{\star }}$ es un espacio de Brauner,
• y viceversa, para cualquier espacio de Brauner ${\displaystyle X}$ su espacio dual estereotipado ${\displaystyle X^{\star }}$ es un espacio de Fréchet.

Los casos especiales de espacios de Brauner son los espacios de Smith.

Ejemplos

• Sea ${\displaystyle M}$ un espacio topológico localmente compacto ${\displaystyle \sigma }$ compacto, y sea ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ el espacio de Fréchet de todas las funciones continuas en ${\displaystyle M}$ (con valores en ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ o ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$), dotado de la topología habitual de convergencia uniforme en conjuntos compactos en ${\displaystyle M}$. El espacio dual ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(M)}$ de medida de Radon con soporte compacto en ${\displaystyle M}$ con la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos en ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ es un espacio de Brauner.
• Sea ${\displaystyle M}$ una variedad diferenciable, y sea ${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$ el espacio de Fréchet de todas las funciones suaves en ${\displaystyle M}$ (con valores en ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ o ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$), dotadas de la topología habitual de convergencia uniforme con cada derivada en conjuntos compactos en ${\displaystyle M}$. El espacio dual ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(M)}$ de distribuciones con soporte compacto en ${\displaystyle M}$ con topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en ${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$ es un espacio de Brauner.
• Sea ${\displaystyle M}$ una variedad de Stein y ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ el espacio de Fréchet de todas las funciones holomorfas en ${\displaystyle M}$ con la topología habitual de convergencia uniforme en conjuntos compactos en ${\displaystyle M}$. El espacio dual ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(M)}$ de funcionales analíticos en ${\displaystyle M}$ con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ es un espacio de Brauner.

En el caso especial en el que ${\displaystyle M=G}$ posee una estructura de grupo topológico, los espacios ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$, ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$, ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$ se convierten en ejemplos naturales de álgebras de grupo de estereotipos.

• Sea ${\displaystyle M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$ una variedad algebraica afín compleja. El espacio ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)={\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]/\{f\in {\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]:\ f{\big |}_{M}=0\}}$ de polinomios (o funciones regulares) en ${\displaystyle M}$, al estar dotado de la topología localmente convexa más fuerte, se convierte en un espacio de Brauner. Su estereotipo de espacio dual ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(M)}$ (de corrientes en ${\displaystyle M}$) es un espacio de Fréchet. En el caso especial en el que ${\displaystyle M=G}$ es un grupo algebraico afín, ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$ se convierte en un ejemplo de álgebra de grupos estereotipados.
• Sea ${\displaystyle G}$ un grupo de Stein generado de forma compacta.^[5]​ El espacio ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\exp }(G)}$ de todas las funciones holomorfas de tipo exponencial en ${\displaystyle G}$ es un espacio de Brauner con respecto a una topología natural.^[6]​

Véase también

• Espacio reflexivo
• Espacio de Smith

Referencias

Bibliografía

• Brauner, K. (1973). «Duals of Fréchet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonné theorem». Duke Mathematical Journal 40 (4): 845-855. doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7. 
• Akbarov, S.S. (2003). «Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra». Journal of Mathematical Sciences 113 (2): 179-349. S2CID 115297067. doi:10.1023/A:1020929201133. 
• Akbarov, S.S. (2009). «Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity». Journal of Mathematical Sciences 162 (4): 459-586. S2CID 115153766. arXiv:0806.3205. doi:10.1007/s10958-009-9646-1.